2021. szeptember 18., szombat
97. Vegyes térgeometria
97. Vegyes térgeometria
769.
A henger alakú gyertyákat
4x
4x
12
cm téglatest alakú díszdobozba csomagolják.
Mekkora lehet annak a gyertyának a felszíne, amelynek alap- és fedőköre illeszkedik a doboz alsó és felső lapjára, palástja pedig érinti a doboz oldallapjait?
Mekkora lehet annak a gyertyának a felszíne, amelynek alap- és fedőköre illeszkedik a doboz alsó és felső lapjára, palástja pedig érinti a doboz oldallapjait?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
`A_(heng er) = ?`
Alapadatok:
d = 4cm
m = 12cm
r = cmKeresett mennyiségek:
`A_(heng er) = ?`
Alapadatok:
d = 4cm
m = 12cm
Képletek:
1. Átmérő számítás:
d = 2*r
r = ?
2. Felszínszámítás:
`A = 2*r^2*pi + 2*r*pi*m`
1. Átmérő számítás:
d = 2*r
r = ?
2. Felszínszámítás:
`A = 2*r^2*pi + 2*r*pi*m`
A = + = cm²
| 4 pont |
770.
Egy csavarhúzó hegyéhez hasonló alakú test felülnézete kör, egyik oldalnézete háromszög, elölnézete
8cm oldalú négyzet.
A testet be akarjuk csomagolni, ezért egy dobozt szeretnénk készíteni neki, de még nem döntöttük el, hogy az henger vagy kocka alakú legyen.
Adja meg az erre alkalmas henger és kocka alakú dobozok minimális
A testet be akarjuk csomagolni, ezért egy dobozt szeretnénk készíteni neki, de még nem döntöttük el, hogy az henger vagy kocka alakú legyen.
Adja meg az erre alkalmas henger és kocka alakú dobozok minimális
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a) `A_(heng er)/A_(kocka) = ?`
b) `V_(heng er)/V_(kocka) = ?`
Alapadatok:
a = d = 8cm
m = 8cm
Keresett mennyiségek:
a) `A_(heng er)/A_(kocka) = ?`
b) `V_(heng er)/V_(kocka) = ?`
Alapadatok:
a = d = 8cm
m = 8cm
Képletek:
1. Átmérő számítás:
d = 2*r
r = ?
2. Felszínek aránya:
`A_(heng er) = 2*r^2*pi + 2*r*pi*m`
`A_(kocka) = 6*a^2`
3. Térfogatok aránya:
`V_(heng er)=r^2*pi*m`
`V_(kocka) = a^3`
1. Átmérő számítás:
d = 2*r
r = ?
2. Felszínek aránya:
`A_(heng er) = 2*r^2*pi + 2*r*pi*m`
`A_(kocka) = 6*a^2`
3. Térfogatok aránya:
`V_(heng er)=r^2*pi*m`
`V_(kocka) = a^3`
a) felszínének arányát,
r = cm
`A_(heng er) = ` + = cm²
`A_(kocka) = ` cm²
`A_(heng er)/A_(kocka) = ` %
r = cm
`A_(heng er) = ` + = cm²
`A_(kocka) = ` cm²
`A_(heng er)/A_(kocka) = ` %
b) térfogatának arányát!
`V_(heng er) = ` cm³
`V_(kocka) = ` cm³
`V_(heng er)/V_(kocka) = ` %
`V_(heng er) = ` cm³
`V_(kocka) = ` cm³
`V_(heng er)/V_(kocka) = ` %
| 7 pont |
771.
Egy fitneszlabdá ba
268liter levegő fér.
Hány cm a labda belső átmérője?
Hány cm a labda belső átmérője?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
d = ? (cm)
Alapadatok:
V = 268 dm³
4/3·r³·π = dm³ Keresett mennyiségek:
d = ? (cm)
Alapadatok:
V = 268 dm³
Képletek:
1. Térfogatszámítás:
`V = 4/3*r^3*pi`
r = ? `[r = root(3)((3*V)/(4*pi))]`
2. Átmérőszámítás:
d = 2*r
1. Térfogatszámítás:
`V = 4/3*r^3*pi`
r = ? `[r = root(3)((3*V)/(4*pi))]`
2. Átmérőszámítás:
d = 2*r
r = cm
d = cm
| 3 pont |
772.
Dominik elkészítette egy téglatest élvázát.
Ezen megmérte, hogy a téglatest két lapátlója 39 cm és 17 cm hosszú, a testátlóját megmérve pedig kiszámolta, hogy annak négyzete 1585cm².
Hány cm drótot használt fel Dominik?
Ezen megmérte, hogy a téglatest két lapátlója 39 cm és 17 cm hosszú, a testátlóját megmérve pedig kiszámolta, hogy annak négyzete 1585cm².
Hány cm drótot használt fel Dominik?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Összélhossz = K = ?
Alapadatok:
e1 = 39cm
e2 = 17cm
f2 = 1585cm²
`e_1^2 = a^2 +b^2` Keresett mennyiségek:
Összélhossz = K = ?
Alapadatok:
e1 = 39cm
e2 = 17cm
f2 = 1585cm²
Képletek:
1. Átlószámítás:
`e_1^2 = a^2 +b^2`
`e_2^2 = a^2 + c^2`
`ul(f^2 = a^2 + b^2 + c^2)`
`[e_1^2+e_2^2-f^2 = a^2]`
2. Összélhossz számítás:
K = 4*(a + b + c)
1. Átlószámítás:
`e_1^2 = a^2 +b^2`
`e_2^2 = a^2 + c^2`
`ul(f^2 = a^2 + b^2 + c^2)`
`[e_1^2+e_2^2-f^2 = a^2]`
2. Összélhossz számítás:
K = 4*(a + b + c)
`e_2^2 = a^2 + c^2`
`ul(f^2 = a^2 + b^2 + c^2)`
`[e_1^2+e_2^2-f^2 = a^2]`
a = cm
b = cm
c = cm
K = cm
| 8 pont |
773.
Egy
10 cm oldalhosszúságú négyzetet megforgatunk
I. az egyik oldala körül
II. az egyik középvonala körül
III. az egyik átlója körül.
I. az egyik oldala körül
II. az egyik középvonala körül
III. az egyik átlója körül.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Alapadatok:
I. eset:
(henger)
`r_1 = 10cm`
`m_1 = 10cm`
II. eset:
(henger)
`r_2 = 5cm`
`m_2 = 10cm`
III. eset:
(két kúp)
`r_3 = 10/(1,4142) cm`
`m_3 = 10/(1,4142) cm`
`a_3 = 10cm`
Keresett mennyiségek:
Alapadatok:
I. eset:
(henger)
`r_1 = 10cm`
`m_1 = 10cm`
II. eset:
(henger)
`r_2 = 5cm`
`m_2 = 10cm`
III. eset:
(két kúp)
`r_3 = 10/(1,4142) cm`
`m_3 = 10/(1,4142) cm`
`a_3 = 10cm`
Képletek:
1. Felszínszámítás:
I. eset:
`A_1 = 2*r_1^2*pi+2*r_1*pi*m_1`
II. eset:
`A_2 = 2*r_2^2*pi+2*r_2*pi*m_2`
III. eset:
`A_3 = 2*r_3*pi*a_3`
2. Térfogatszámítás:
I. eset:
`V_1 = r_1^2*pi*m_1`
II. eset:
`V_2 = r_2^2*pi*m_2`
III. eset:
`V_3 = 2*(r_3^2*pi*m_3)/3`
1. Felszínszámítás:
I. eset:
`A_1 = 2*r_1^2*pi+2*r_1*pi*m_1`
II. eset:
`A_2 = 2*r_2^2*pi+2*r_2*pi*m_2`
III. eset:
`A_3 = 2*r_3*pi*a_3`
2. Térfogatszámítás:
I. eset:
`V_1 = r_1^2*pi*m_1`
II. eset:
`V_2 = r_2^2*pi*m_2`
III. eset:
`V_3 = 2*(r_3^2*pi*m_3)/3`
a) Mekkora a keletkező három forgástest felszíne, illetve térfogata?
Válaszait egész cm²-re, illetve egész cm³-re kerekítve adja meg!
1. Henger:
r1 = cm
m1 = cm
A1 = + = cm²
V1 = cm³
2. Henger:
r2 = cm
m2 = cm
A2 = + = cm²
V2 = cm³
3. Két kúp:
Az egyik kúp adatai:
r3 = cm
m3 = cm
a3 = cm
Két kúp együttese:
A3 = cm²
V3 = cm³
Válaszait egész cm²-re, illetve egész cm³-re kerekítve adja meg!
1. Henger:
r1 = cm
m1 = cm
A1 = + = cm²
V1 = cm³
2. Henger:
r2 = cm
m2 = cm
A2 = + = cm²
V2 = cm³
3. Két kúp:
Az egyik kúp adatai:
r3 = cm
m3 = cm
a3 = cm
Két kúp együttese:
A3 = cm²
V3 = cm³
b) Az első test felszíne hányszorosa a második test felszínének?
`A_1/A_2 = `%
`A_1/A_2 = `%
c) A harmadik test térfogata hány százaléka a második test térfogatának?
`V_3/V_2 = `%
`V_3/V_2 = `%
| 8 pont |
774.
Egy virágtartó felső része henger alakú, alsó része pedig egy lefelé keskenyedő csonka kúp.
Ez utóbbi rész alul 8cm széles és 6cm magas, a felső rész 10cm széles, a tál teljes magassága 10cm.
Hány liter virágföld fér a virágtartóba, ha teljes magasságának 4/ 5 részéig töltjük meg?
Ez utóbbi rész alul 8cm széles és 6cm magas, a felső rész 10cm széles, a tál teljes magassága 10cm.
Hány liter virágföld fér a virágtartóba, ha teljes magasságának 4/ 5 részéig töltjük meg?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
V = ?
Alapadatok:
I. henger:
`m_1 = ?`
R = ?
II. csonka kúp:
d = 8cm
r = ?
`m_2 = 6cm`
D = 10cm
Teljes:
m = 10cm
ra = 4/5
Teljes: Keresett mennyiségek:
V = ?
Alapadatok:
I. henger:
`m_1 = ?`
R = ?
II. csonka kúp:
d = 8cm
r = ?
`m_2 = 6cm`
D = 10cm
Teljes:
m = 10cm
ra = 4/5
Képletek:
1. Magasságszámítás:
`m_1 + m_2 = m*ra`
2. Átmérőszámítás:
D = 2*R
d = 2*r
3. Térfogatszámítás:
`V_1 = R^2*pi*m_1`
`V_2 = ((R^2+R*r+r^2)*pi*m_2)/3`
`V = V_1 + V_2`
1. Magasságszámítás:
`m_1 + m_2 = m*ra`
2. Átmérőszámítás:
D = 2*R
d = 2*r
3. Térfogatszámítás:
`V_1 = R^2*pi*m_1`
`V_2 = ((R^2+R*r+r^2)*pi*m_2)/3`
`V = V_1 + V_2`
m = 10cm
részarány(ra) = 4/5
II. csonka kúp:
D = 10cm
R = dm
d = 8cm
r = dm
`m_2 = 6cm`
I. henger:
`m_1` + = dm
`m_1 = `dm
`V_1 = `dm³
`V_2 = `dm³
V = dm³
| 6 pont |
775.
Egy hagyományőrző rendezvényre a szervező cég indián sátor alakú helyszínt állított fel.
A szabályos 6-szög alapú gúla oldalélei és alapélei mentén, valamint a gúla testmagasságánál merevítőrudakat használnak.
Az alapélekhez 2 m-es, az oldalélekhez 6m-es merevítőket használtak.
A szabályos 6-szög alapú gúla oldalélei és alapélei mentén, valamint a gúla testmagasságánál merevítőrudakat használnak.
Az alapélekhez 2 m-es, az oldalélekhez 6m-es merevítőket használtak.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a) m = ?
b) P = ?
Alapadatok:
n = 6
a = 2m
b = 6m
Keresett mennyiségek:
a) m = ?
b) P = ?
Alapadatok:
n = 6
a = 2m
b = 6m
Képletek:
1. Pitagorasz-tételek:
`a^2+m^2=b^2`
`(a/2)^2+mo^2=b^2`
mo = ?
2. Felszín számítás:
`P = n*(a*mo)/2`
1. Pitagorasz-tételek:
`a^2+m^2=b^2`
`(a/2)^2+mo^2=b^2`
mo = ?
2. Felszín számítás:
`P = n*(a*mo)/2`
a) Milyen hosszú a testmagasságánál álló rúd?
² + m² = ²
m = m
² + m² = ²
m = m
b) Mekkora területű vásznat feszítenek ki az oldallapokra az indiánok?
² /4 + mo² = ²
mo = m
P = m²
² /4 + mo² = ²
mo = m
P = m²
| 6 pont |
776.
Egy csillagvizsgáló henger alakú épületére félgömb alakú kupolát építettek.
Az épület legnagyobb belső szélessége 20m, teljes belső magassága 15m.
Az épületet klimatizálni akarják.
Segítsen kiszámítani, hogy hány légköbméter klimatizálására kell alkalmasnak lennie az ehhez stükséges berendezésnek!
Az épület legnagyobb belső szélessége 20m, teljes belső magassága 15m.
Az épületet klimatizálni akarják.
Segítsen kiszámítani, hogy hány légköbméter klimatizálására kell alkalmasnak lennie az ehhez stükséges berendezésnek!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
V = ?
Alapadatok:
d = 20m
m = 15m
Keresett mennyiségek:
V = ?
Alapadatok:
d = 20m
m = 15m
Képletek:
1. Átmérőszámítás:
d =2*r
r = ?
2. Magasságszámítás:
m = r + mh
mh = ?
3. Térfogatszámítás:
`V_(félgömb) = 2/3*r^3*pi`
`V_(heng er) = r^2*pi*m_(heng er)`
`V = V_(félgömb)+V_(heng er)`
1. Átmérőszámítás:
d =2*r
r = ?
2. Magasságszámítás:
m = r + mh
mh = ?
3. Térfogatszámítás:
`V_(félgömb) = 2/3*r^3*pi`
`V_(heng er) = r^2*pi*m_(heng er)`
`V = V_(félgömb)+V_(heng er)`
`m_(heng er) = `m
`V_(félgömb) = `m³
`V_(heng er) = `m³
V = m³
| 5 pont |
97. Vegyes térgeometria
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 769. | ||||
| 770. | ||||
| 771. | ||||
| 772. | ||||
| 773. | ||||
| 774. | ||||
| 775. | ||||
| 776. | ||||
| Ö.: | - | - |
96. Gúla
96. Gúla
Segítséget1. Négyzet alapú gúla
761.
Számítsa ki annak a szabályos négyoldalú gúlának a térfogatát,
amelynek alapéle
16cm, oldaléle
12cm!
Megoldás:
Keresett mennyiség:
Térfogat = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 16cm)`
oldalél = `color(red)(b = 12cm)`
Vázlat:
Keresett mennyiség:
Térfogat = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 16cm)`
oldalél = `color(red)(b = 12cm)`
Képletek:
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (color(red)(a^2)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = m_o^2`
`color(red)(a^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + m_o^2 = color(red)(b^2)`
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (color(red)(a^2)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = m_o^2`
`color(red)(a^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + m_o^2 = color(red)(b^2)`
² /2 + m² = ²
m = cm
V = cm³
| 4 pont |
762.
Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle
8cm, magassága
20cm.
Számolja ki a gúla felszínét!
Számolja ki a gúla felszínét!
Megoldás:
Keresett mennyiség:
Felszín = `color(blue)(A_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 8cm)`
magasság = `color(red)(m = 20cm)`
² /4 +
² = mo²Keresett mennyiség:
Felszín = `color(blue)(A_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 8cm)`
magasság = `color(red)(m = 20cm)`
Képletek:
1. Felszín:
`color(blue)(A_(gúla)) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (a^2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(red)(m^2) = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = b^2`
1. Felszín:
`color(blue)(A_(gúla)) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (a^2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(red)(m^2) = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = b^2`
mo = cm
Agúla = + = cm²
| 4 pont |
763.
Egy ház alapja
10m oldalú négyzet, tetőszerkezete olyan négyoldalú gúla,
amelynek oldalélei
12m-esek.
Hány m² cserepet vásároljunk, ha az illesztések és vágások miatt a szükséges mennyiség 12%-kal többet kell vennünk?
Hány m² cserepet vásároljunk, ha az illesztések és vágások miatt a szükséges mennyiség 12%-kal többet kell vennünk?
Megoldás:
Keresett mennyiség:
Palást = `color(blue)(P_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 10m)`
oldalél = `color(red)(b = 12m)`
ráhagyás = r = 12%
² /4 + mo² =
²Keresett mennyiség:
Palást = `color(blue)(P_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 10m)`
oldalél = `color(red)(b = 12m)`
ráhagyás = r = 12%
Képletek:
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
`color(blue)(P_(gúla)) = 4*(color(red)(a)*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (a^2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + m^2 = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + m^2 = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = color(red)(b^2)`
4. Ráhagyás:
`P = (1+r/100)*P_(gúla)`
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
`color(blue)(P_(gúla)) = 4*(color(red)(a)*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (a^2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + m^2 = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + m^2 = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = color(red)(b^2)`
4. Ráhagyás:
`P = (1+r/100)*P_(gúla)`
mo = m
Pgúla = m²
P = m²
| 6 pont |
764.
Karácsonyra szabályos négyoldalú gúlákat öntünk viaszból.
Olyan öntősablont készítünk, amelynek oldallapja 60°-os szöget zárnak be az alaplappal, magassága 8cm.
Mennyi viaszt használjunk fel egy gyertya öntéséhez, ha az öntési veszteség 6%?
Olyan öntősablont készítünk, amelynek oldallapja 60°-os szöget zárnak be az alaplappal, magassága 8cm.
Mennyi viaszt használjunk fel egy gyertya öntéséhez, ha az öntési veszteség 6%?
Megoldás:
Keresett mennyiség:
Térfogat = `color(blue)(V = ?)`
Alapadatok:
oldallapnak az alaplappal bezárt szöge = `color(red)(alpha = 60°)`
magasság = `color(red)(m = 8cm)`
veszteség = v = 6%
(a/2)·tg ° =
Keresett mennyiség:
Térfogat = `color(blue)(V = ?)`
Alapadatok:
oldallapnak az alaplappal bezárt szöge = `color(red)(alpha = 60°)`
magasság = `color(red)(m = 8cm)`
veszteség = v = 6%
Képletek:
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (a^2*color(red)(m))/3`
`color(mediumseagreen)(a) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(mediumseagreen)(a)/2)^2 + color(red)(m^2) = m_o^2`
`color(mediumseagreen)(a^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`(color(mediumseagreen)(a)/2)^2 + m_o^2 = b^2`
4. Szögfüggvények:
`sin color(red)(alpha)=color(red)(m)/m_o`
`cos color(red)(alpha)=(color(mediumseagreen)(a)/2)/m_o`
`tg color(red)(alpha)=color(red)(m)/(color(mediumseagreen)(a)/2)`
`sin beta =m/b`
`cos beta =e/b` `e = a*0,866`
`tg beta =m/e`
5. Veszteségbeszámítás:
`V = (1+v/100)*V_(gúla)`
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (a^2*color(red)(m))/3`
`color(mediumseagreen)(a) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(mediumseagreen)(a)/2)^2 + color(red)(m^2) = m_o^2`
`color(mediumseagreen)(a^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`(color(mediumseagreen)(a)/2)^2 + m_o^2 = b^2`
4. Szögfüggvények:
`sin color(red)(alpha)=color(red)(m)/m_o`
`cos color(red)(alpha)=(color(mediumseagreen)(a)/2)/m_o`
`tg color(red)(alpha)=color(red)(m)/(color(mediumseagreen)(a)/2)`
`sin beta =m/b`
`cos beta =e/b` `e = a*0,866`
`tg beta =m/e`
5. Veszteségbeszámítás:
`V = (1+v/100)*V_(gúla)`
a = cm
Vgúla = cm³
V = cm³
| 6 pont |
2. Sokszög alapú gúla
765.
Kerti pavilonunk teteje szabályos hatoldalú gúla alakú,
amelynek alapélei
1m, oldalélei
130cm hosszúak.
Hány kg festéket vegyünk a pavilon tetejének lefestéséhez, ha 1,2kg festékkel festhettük le 1m² felületet?
Hány kg festéket vegyünk a pavilon tetejének lefestéséhez, ha 1,2kg festékkel festhettük le 1m² felületet?
Megoldás:
Keresett mennyiség:
Palást = `color(blue)(P_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 1m)`
oldalél = `color(red)(b = 1,3m)`
egységnyi festékigény = `color(red)(fi = 1,2(kg)/m^2)`
Vázlat:
Keresett mennyiség:
Palást = `color(blue)(P_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 1m)`
oldalél = `color(red)(b = 1,3m)`
egységnyi festékigény = `color(red)(fi = 1,2(kg)/m^2)`
Képletek:
1. Felszín:
`A_(gúla) = 6*(a^2*0,866)/2 + 6*(a*m_o)/2`
`color(blue)(P_(gúla)) = 6*(color(red)(a)*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (6*(a^2*0,866)/2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)*0,866)^2 + m^2 = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2) + m^2 = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = color(red)(b^2)`
4. Festékszükséglet:
`m = color(red)(fi)*P_(gúla)`
1. Felszín:
`A_(gúla) = 6*(a^2*0,866)/2 + 6*(a*m_o)/2`
`color(blue)(P_(gúla)) = 6*(color(red)(a)*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (6*(a^2*0,866)/2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)*0,866)^2 + m^2 = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2) + m^2 = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = color(red)(b^2)`
4. Festékszükséglet:
`m = color(red)(fi)*P_(gúla)`
² /4 + mo² = ²
mo = m
Pgúla = m²
m(tömeg) = kg
| 6 pont |
766.
Az egyik cég szabályos nyolcszög alapú gúla alakú ajándékot készít
fémből az ügyfeleinek.
Az ajándék készítéséhez öntőformát használnak, amelynek alapéle 2cm, oldaléle 5cm.
Legfeljebb hány gúlát tudnak önteni egy 10cm élű kocka alakú fémtömbből?
Az ajándék készítéséhez öntőformát használnak, amelynek alapéle 2cm, oldaléle 5cm.
Legfeljebb hány gúlát tudnak önteni egy 10cm élű kocka alakú fémtömbből?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
gúla térfogata = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
kocka térfogata = `color(blue)(V_(kocka) = ?)`
gúla darabszám = n
Alapadatok:
gúla:
alapél = `color(red)(a = 2cm)`
oldalél = `color(red)(b = 5cm)`
kocka:
oldalél = `color(red)(c = 10cm)`
Vázlat:
Keresett mennyiségek:
gúla térfogata = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
kocka térfogata = `color(blue)(V_(kocka) = ?)`
gúla darabszám = n
Alapadatok:
gúla:
alapél = `color(red)(a = 2cm)`
oldalél = `color(red)(b = 5cm)`
kocka:
oldalél = `color(red)(c = 10cm)`
Képletek:
Gúla:
n = 8
`gamma = (360°)/(2*color(red)(n))`
`color(mediumseagreen)(gamma) = ?`
`sin gamma = (a/2)/R`
`tg gamma = (a/2)/(m_(hsz))`
`color(mediumseagreen)(m_(hsz),R) = ?`
`T_(hsz) = (a*m_(hsz))/2`
`T_(gúla) = n*T_(hsz)`
`color(mediumseagreen)(T_(gúla)) = ?`
1. Felszín:
`A_(gúla) = T_(gúla) + n*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (T_(gúla)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(mediumseagreen)(m_(hsz)))^2 + m^2 = m_o^2`
`color(red)R^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(b^2)`
`color(red)(a)^2 + m_o^2 = color(red)(b^2)`
Kocka:
`V_(kocka) = color(red)(c^3)`
Darabszám = `db = (V_(kocka))/(V_(gúla))`
Gúla:
n = 8
`gamma = (360°)/(2*color(red)(n))`
`color(mediumseagreen)(gamma) = ?`
`sin gamma = (a/2)/R`
`tg gamma = (a/2)/(m_(hsz))`
`color(mediumseagreen)(m_(hsz),R) = ?`
`T_(hsz) = (a*m_(hsz))/2`
`T_(gúla) = n*T_(hsz)`
`color(mediumseagreen)(T_(gúla)) = ?`
1. Felszín:
`A_(gúla) = T_(gúla) + n*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (T_(gúla)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(mediumseagreen)(m_(hsz)))^2 + m^2 = m_o^2`
`color(red)R^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(b^2)`
`color(red)(a)^2 + m_o^2 = color(red)(b^2)`
Kocka:
`V_(kocka) = color(red)(c^3)`
Darabszám = `db = (V_(kocka))/(V_(gúla))`
`gamma =` °
tg ° = (/2)/mhsz
`m_(hsz) = ` cm
sin ° = (/2)/R
R = cm
`T_(hsz) = ` cm²
`T_(gúla) = ` cm²
m² + ² = ²
m = cm
`V_(gúla) = ` cm³
`V_(kocka) = `cm³
db = db
| 9 pont |
3. Csonkagúla
767.
Egy fából készült szabályos négyoldalú gúla alapélei
20cm hosszúak,
az oldallapjainak magassága szintén
20cm.
A gúlát az alaplapjával párhuzamosan, magasságának felénél két részre vágjuk.
Mekkora a keletkező testek térfogata egész cm³-re kerekítve?
A gúlát az alaplapjával párhuzamosan, magasságának felénél két részre vágjuk.
Mekkora a keletkező testek térfogata egész cm³-re kerekítve?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Téfogat 1. = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
Téfogat 2. = `color(blue)(V_(csgúla) = ?)`
Alapadatok:
Gúla:
alapél = `color(red)(a_g = 10cm)`
oldallap magassága = `color(red)(m_(o,g) = 10cm)`
Csonkagúla:
alaplap éle = `color(red)(a_(csg) = 20cm)`
fedőlap éle = `color(red)(c_(csg) = 10cm)`
oldallap magassága = `color(red)(m_(o,csg) = 10cm)`
Felső gúla: Keresett mennyiségek:
Téfogat 1. = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
Téfogat 2. = `color(blue)(V_(csgúla) = ?)`
Alapadatok:
Gúla:
alapél = `color(red)(a_g = 10cm)`
oldallap magassága = `color(red)(m_(o,g) = 10cm)`
Csonkagúla:
alaplap éle = `color(red)(a_(csg) = 20cm)`
fedőlap éle = `color(red)(c_(csg) = 10cm)`
oldallap magassága = `color(red)(m_(o,csg) = 10cm)`
Képletek:
Gúla:
1. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (color(red)(a^2)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
2. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = b^2`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(red)(m_o^2) = b^2`
Csonkagúla:
1. Térfogat:
`color(blue)(V_(csgúla)) = ((color(red)(a^2+a*c+c^2))*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
2. Pitagorasz-tételek:
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(m_o^2)`
`color(red)((a-c)^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = b^2`
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(red)(m_o^2) = b^2`
Gúla:
1. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (color(red)(a^2)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
2. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = b^2`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(red)(m_o^2) = b^2`
Csonkagúla:
1. Térfogat:
`color(blue)(V_(csgúla)) = ((color(red)(a^2+a*c+c^2))*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
2. Pitagorasz-tételek:
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(m_o^2)`
`color(red)((a-c)^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = b^2`
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(red)(m_o^2) = b^2`
² / 4 + m² = ²
m = cm
Vgúla = cm³
Alsó csonkagúla:
mcsonkagúla = cm
Vcsonkagúla = cm³
| 8 pont |
768.
Szüreteléskor olyan csonka gúla alakú szőlőtárolót használnak az egyik pincészetben,
amelynek alapéle
2m, fedőéle
4m, magassága
3m, teteje nincs.
Szüret előtt minden évben lefestik a tárolóedényt kívülről és belülről is.
Hány m²-t kell lefesteni, ha összesen 30 ilyen edényünk van (darabszám)?
Szüret előtt minden évben lefestik a tárolóedényt kívülről és belülről is.
Hány m²-t kell lefesteni, ha összesen 30 ilyen edényünk van (darabszám)?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Alaplap = `color(blue)(T = ?)`
Palást = `color(blue)(P = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 2m)`
fedőél = `color(red)(c = 4m)`
magasság = `color(red)(m = 3m)`
darabszám = `color(red)(n = 30)`
² /4 +
² = mo² Keresett mennyiségek:
Alaplap = `color(blue)(T = ?)`
Palást = `color(blue)(P = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 2m)`
fedőél = `color(red)(c = 4m)`
magasság = `color(red)(m = 3m)`
darabszám = `color(red)(n = 30)`
Képletek:
1. Felszín:
`color(blue)(T) = color(red)(a^2)`
`color(blue)(P) = 4*(color(red)((a+c))*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(red)(m^2) = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)((a-c)^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = b^2`
4. Összes:
`A = 2*n*(T+P)`
1. Felszín:
`color(blue)(T) = color(red)(a^2)`
`color(blue)(P) = 4*(color(red)((a+c))*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(red)(m^2) = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)((a-c)^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = b^2`
4. Összes:
`A = 2*n*(T+P)`
mo = m
`T_(alap) =` m²
P = m²
A = m²
A_30 = m²
| 8 pont |
96. Gúla
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 761. | ||||
| 762. | ||||
| 763. | ||||
| 764. | ||||
| 765. | ||||
| 766. | ||||
| 767. | ||||
| 768. | ||||
| Ö.: | - | - |
95. Kúp
95. Kúp
Segítséget
753.
Egy forgáskúp alapkörének sugara
5cm, magassága
12cm.
Mekkora a kúp felszíne?
Mekkora a kúp felszíne?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
A = ?
Alapadatok:
r = 5cm
m = 12cm
Vázlat:
Keresett mennyiségek:
A = ?
Alapadatok:
r = 5cm
m = 12cm
Képletek:
1.Felszín:
`A = r^2*pi + r*pi*a`
a = ?
2. Pitagorasz-tétel:
`r^2+m^2=a^2`
1.Felszín:
`A = r^2*pi + r*pi*a`
a = ?
2. Pitagorasz-tétel:
`r^2+m^2=a^2`
a² = + =
a = cm
A = + = cm²
| 4 pont |
754.
Kúp alakú gyertyákat készítünk, a kúp alkotója
17cm, alapkörének átmérője
16cm.
Hány cm³ viasz szükséges a gyertya elkészítéséhez?
(A dermesztéskor bekövetkező térfogatváltozástól tekintsünk el.)
Hány cm³ viasz szükséges a gyertya elkészítéséhez?
(A dermesztéskor bekövetkező térfogatváltozástól tekintsünk el.)
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
V = ?
Alapadatok:
a = 17cm
d = 16cm
r = cmKeresett mennyiségek:
V = ?
Alapadatok:
a = 17cm
d = 16cm
Képletek:
1. Átmérő:
d=2*r
r = ?
2. Térfogat:
`V = (r^2*pi*m)/3`
m = ?
3. Pitagorasz-tétel:
`r^2+m^2=a^2`
1. Átmérő:
d=2*r
r = ?
2. Térfogat:
`V = (r^2*pi*m)/3`
m = ?
3. Pitagorasz-tétel:
`r^2+m^2=a^2`
= + m²
m = cm
V = cm
| 6 pont |
755.
Egy egyenes körkúp nyílásszöge
60°, alkotója
10 cm.
Mekkora a kúp felszíne, térfogata?
Mekkora a kúp felszíne, térfogata?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
A = ?
V = ?
Alapadatok:
`alpha = 60°`
a = 10cm
sin(/2) =
r/ Keresett mennyiségek:
A = ?
V = ?
Alapadatok:
`alpha = 60°`
a = 10cm
Képletek:
1.Felszín:
`A = r^2*pi + r*pi*a`
r = ?
2. Térfogat:
`V = (r^2*pi*m)/3`
m = ?
3. Szögfüggvények:
`sin(alpha/2)=r/a`
`cos(alpha/2)=m/a`
`tg(alpha/2)=r/m`
1.Felszín:
`A = r^2*pi + r*pi*a`
r = ?
2. Térfogat:
`V = (r^2*pi*m)/3`
m = ?
3. Szögfüggvények:
`sin(alpha/2)=r/a`
`cos(alpha/2)=m/a`
`tg(alpha/2)=r/m`
r = cm
= + m²
m = cm
A = + = cm²
V = cm³
| 8 pont |
756.
Egy forgáskúp palástja
9cm sugarú
120°-os középpontú körcikk.
Mekkora a kúp felszíne?
Mekkora a kúp felszíne?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
A = ?
Alapadatok:
a = 9cm
`beta = 120°`
a = cm Keresett mennyiségek:
A = ?
Alapadatok:
a = 9cm
`beta = 120°`
Képletek:
1. Körcikk területe:
`T_(kc)=(beta)/(360)*a^2*pi`
`T_(kc) = ?`
2. Kör kerülete:
`K=(beta)/(360)*2*a*pi`
`K = 2*r*pi`
r = ? `[r = (beta)/(360)*a]`
3. Kör területe:
`T_k = r^2*pi`
`T_k = ?`
3. Kúp felszíne:
`A_(kúp)=T_(kc)+T_k`
1. Körcikk területe:
`T_(kc)=(beta)/(360)*a^2*pi`
`T_(kc) = ?`
2. Kör kerülete:
`K=(beta)/(360)*2*a*pi`
`K = 2*r*pi`
r = ? `[r = (beta)/(360)*a]`
3. Kör területe:
`T_k = r^2*pi`
`T_k = ?`
3. Kúp felszíne:
`A_(kúp)=T_(kc)+T_k`
P = Tkörcikk = cm²
K = 2rπ = i = cm
r = cm
Tkör = cm²
Akúp = cm²
| 4 pont |
757.
20cm magas egyenes körkúp palástját szeretnénk
félkörlapból elkészíteni.
Mekkorának válasszunk meg a félkörlap (palást szöge = 180°) sugarát?
Mekkorának válasszunk meg a félkörlap (palást szöge = 180°) sugarát?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
r = ?
Alapadatok:
m = 20cm
`beta=180°`
m = cm Keresett mennyiségek:
r = ?
Alapadatok:
m = 20cm
`beta=180°`
Képletek:
1.Körív hossza:
`i = (beta/360)*2*a*pi`
`i = 2*r*pi`
`[a=360/beta*r]`
2. Pitagorasz-tétel:
`r^2+m^2=a^2` `[r=m/sqrt((360/beta)^2-1)]`
1.Körív hossza:
`i = (beta/360)*2*a*pi`
`i = 2*r*pi`
`[a=360/beta*r]`
2. Pitagorasz-tétel:
`r^2+m^2=a^2` `[r=m/sqrt((360/beta)^2-1)]`
`i = (beta/360)*2*a*pi`
`i = 2*r*pi`
a = ·r
·r² = r² +
r = cm
| 4 pont |
758.
Egy
15cm magas,
20cm átmérőjű forgáskúp palástját kiterítjük egy síkba.
Mekkora a keletkező körcikk középponti szöge?
Mekkora a keletkező körcikk középponti szöge?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
beta = ?
Alapadatok:
m = 15cm
d = 20cm
r = cmKeresett mennyiségek:
beta = ?
Alapadatok:
m = 15cm
d = 20cm
Képletek:
1. Átmérő:
d = 2*r
r = ?
2. Pitagorasz-tétel:
`r^2+m^2=a^2`
a = ?
3. Körív hossza:
`i = (beta/360)*2*a*pi`
`i = 2*r*pi`
β = ?
`[beta=(r*360)/a]`
1. Átmérő:
d = 2*r
r = ?
2. Pitagorasz-tétel:
`r^2+m^2=a^2`
a = ?
3. Körív hossza:
`i = (beta/360)*2*a*pi`
`i = 2*r*pi`
β = ?
`[beta=(r*360)/a]`
a² = +
a = cm
`i = (beta/360)*2*a*pi`
`i = 2*r*pi`
β = °
| 6 pont |
759.
Németországban az a szokás, hgy az iskolát elkezdő kisgyerekek az első napon egy kúp alakú csomagot kapnak tele ajándékokkal.
Gréti kúpját a tanító néni készítette, aki egy 80cm sugarú körlapot az átmérői mentén 8 egybevágó körcikkre vágott, majd a nyolcadkör alakú papírlapokból kúpot formázott.
Milyen magas a kúp?
(A ragasztási veszteségektől tekintsünk el.)
Gréti kúpját a tanító néni készítette, aki egy 80cm sugarú körlapot az átmérői mentén 8 egybevágó körcikkre vágott, majd a nyolcadkör alakú papírlapokból kúpot formázott.
Milyen magas a kúp?
(A ragasztási veszteségektől tekintsünk el.)
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
m = ?
Alapadatok:
beta = 360°/8
a = 80cm
`i = (beta/360)*2*a*pi` Keresett mennyiségek:
m = ?
Alapadatok:
beta = 360°/8
a = 80cm
Képletek:
1. Körív hossza:
`i = (beta/360)*2*a*pi`
`i = 2*r*pi`
r = ? `[r = beta/(360)*a]`
2. Pitagorasz-tétel:
`r^2+m^2=a^2` `[m=sqrt(a^2-r^2)]`
1. Körív hossza:
`i = (beta/360)*2*a*pi`
`i = 2*r*pi`
r = ? `[r = beta/(360)*a]`
2. Pitagorasz-tétel:
`r^2+m^2=a^2` `[m=sqrt(a^2-r^2)]`
`i = 2*r*pi`
r = cm
= + m²
m = cm
| 4 pont |
2. Csonkakúp
760.
Egy szimmetrikus trapéz alapjai
16cm és
8cm, szárai
5cm hosszúak.
A trapézt megforgatjuk a szimmetriatengelye körül.
Mekkora a forgástest felszíne és térfogata?
A trapézt megforgatjuk a szimmetriatengelye körül.
Mekkora a forgástest felszíne és térfogata?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
`A_(cskúp)=?`
`V_(cskúp)=?`
Alapadatok:
a = 16cm
c = 8cm
b = 5cm
Vázlat:
Keresett mennyiségek:
`A_(cskúp)=?`
`V_(cskúp)=?`
Alapadatok:
a = 16cm
c = 8cm
b = 5cm
Képletek:
1. Pitagorasz-tétel:
`(a-c)^2/4+m^2=b^2`
m = ?
2. Sugarak hossza?
a = 2*R
c = 2*r
R = ?
r = ?
3. Csonkakúp felszíne:
`A = R^2*pi+r^2*pi+(R+r)*pi*b`
b!!!
4. Csonkakúp térfogata:
`V = ((R^2+R*r+r^2)*pi*m)/3`
1. Pitagorasz-tétel:
`(a-c)^2/4+m^2=b^2`
m = ?
2. Sugarak hossza?
a = 2*R
c = 2*r
R = ?
r = ?
3. Csonkakúp felszíne:
`A = R^2*pi+r^2*pi+(R+r)*pi*b`
b!!!
4. Csonkakúp térfogata:
`V = ((R^2+R*r+r^2)*pi*m)/3`
+m² =
m = cm
R = cm
r = cm
A = + + = cm²
V = cm³
| 5 pont |
95. Kúp
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 753. | ||||
| 754. | ||||
| 755. | ||||
| 756. | ||||
| 757. | ||||
| 758. | ||||
| 759. | ||||
| 760. | ||||
| Ö.: | - | - |
Feliratkozás:
Megjegyzések (Atom)