58. Mértani sorozat
Segítséget1. Képletalkalmazásos feladatok
457.
Egy mértani sorozat első eleme
2, hányadosa
3.
Határozza meg a sorozat 5. elemét és az első 7 tag összegét!
Határozza meg a sorozat 5. elemét és az első 7 tag összegét!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a5 = ?
S7 = ?
Alapadatok:
a1 = 2
q = 3
a5 = ·
=
Keresett mennyiségek:
a5 = ?
S7 = ?
Alapadatok:
a1 = 2
q = 3
Képletek:
1. `a_n = a_1*q^(n-1) = 2*3^(5-1)`
2. `S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1) =2*(3^7-1)/(3-1)`
Ebben a feladatban ezekbe a képletekbe kell behelyettesíteni.
Vigyázni kell arra, hogy
- az első képletben a hatványkitevőben van a -1,
- a második képletben a hatványozás után van a -1!
1. `a_n = a_1*q^(n-1) = 2*3^(5-1)`
2. `S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1) =2*(3^7-1)/(3-1)`
Ebben a feladatban ezekbe a képletekbe kell behelyettesíteni.
Vigyázni kell arra, hogy
- az első képletben a hatványkitevőben van a -1,
- a második képletben a hatványozás után van a -1!
S7 = · / =
| 4 pont |
458.
Egy mértani sorozat első eleme
-4,
7. eleme
-256.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
q = ?
S10 = ?
Alapadatok:
a1 = -4
a7 = -256
Keresett mennyiségek:
q = ?
S10 = ?
Alapadatok:
a1 = -4
a7 = -256
Képletek:
1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
Ebből `q = +-root(n-1)((a_n)/(a_1)) = +-root(7-1)((-256)/(-4))`
Páros számú gyökvonás esetén két megoldás van:
±gyök
2. `S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`
1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
Ebből `q = +-root(n-1)((a_n)/(a_1)) = +-root(7-1)((-256)/(-4))`
Páros számú gyökvonás esetén két megoldás van:
±gyök
2. `S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`
a) Mekkora a sorozat hányadosa?
= q^
Megoldások növekvő sorrendben:
q1 = ,
q2 =
= q^
| q = ± | √ | |
q1 = ,
q2 =
b) Számolja ki az első
10 tag összegét!
q1 esetén: S10 = · / = ,
q2 esetén: S10 = · / =
q1 esetén: S10 = · / = ,
q2 esetén: S10 = · / =
| 6 pont |
459.
Egy mértani sorozat
7. tagja
9,
14. tagja szintén
9.
Számolja ki a sorozat első elemét és hányadosát, valamint az első 100 tag összegét!
Számolja ki a sorozat első elemét és hányadosát, valamint az első 100 tag összegét!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
q = ?
a1 = ?
S100 = ?
Alapadatok:
a7 = 9
a14 = 9
q^ =
/
Keresett mennyiségek:
q = ?
a1 = ?
S100 = ?
Alapadatok:
a7 = 9
a14 = 9
Képletek:
1. `a_n = a1*q^(n-1)`
(Kétismeretlenes egyenletrendszer!)
`q^(n-k) = (a_n)/(a_k)`
2. Konstans sorozat esetén: `S_n = n*a_1`
1. `a_n = a1*q^(n-1)`
(Kétismeretlenes egyenletrendszer!)
`q^(n-k) = (a_n)/(a_k)`
2. Konstans sorozat esetén: `S_n = n*a_1`
q =
a1 =
S100 =
| 6 pont |
460.
Egy mértani sorozat első eleme
-1, hányadosa
2, az első n elem összege
-8 388 607.
Határozza meg n értékét!
Határozza meg n értékét!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
n = ?
Alapadatok:
a1 = -1
q = 2
Sn = -8 388 607
·
(2n -1)/
=
Keresett mennyiségek:
n = ?
Alapadatok:
a1 = -1
q = 2
Sn = -8 388 607
Képletek:
1. `Sn = a_1*(q^n-1)/(q-1)`
(Hatványkitevő keresés = logaritmus!)
1. `Sn = a_1*(q^n-1)/(q-1)`
(Hatványkitevő keresés = logaritmus!)
2n =
n = lg /lg 2
n =
| 4 pont |
461.
Egy mértani sorozat
4. eleme
40,
5. eleme
80.
Eleme-e ennek a sorozatnak a 2560?
Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!
Eleme-e ennek a sorozatnak a 2560?
Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Konkrét érték elem-e?
q = ?
Alapadatok:
a4 = 40
a5 = 80
q = /
=
Keresett mennyiségek:
Konkrét érték elem-e?
q = ?
Alapadatok:
a4 = 40
a5 = 80
Képletek:
1. `q = (a_(n+1))/(a_n)`
2. `a_n = a1*q^(n-1)`-ből `a_1 = (a_n)/(q^(n-1))`
3. `n = (lg ((a_n)/(a_1)))/(lg q) +1`
1. `q = (a_(n+1))/(a_n)`
2. `a_n = a1*q^(n-1)`-ből `a_1 = (a_n)/(q^(n-1))`
3. `n = (lg ((a_n)/(a_1)))/(lg q) +1`
= a1·
a1 =
2560 = · ^(n-1)
n = lg / lg +1
n = . tagja
| 6 pont |
462.
Iktasson be
-10 és
320 közé
négy számot úgy,
hogy egy mértani sorozat szomszédos elemeit kapja!
Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!
Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
q = ?
Alapadatok:
a1 = -10
a6 =320
=
·q^
Keresett mennyiségek:
q = ?
Alapadatok:
a1 = -10
a6 =320
Képletek:
1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
`q = root(5)((a_5)/(a_1))`
1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
`q = root(5)((a_5)/(a_1))`
q = 5√/ ) =
Beiktatott számok = ; ; ; .
| 6 pont |
2. Szöveges feladatok
463.
Dani sérülése után újból edzeni kezd.
Ma 3 perccel kezdi az edzést és úgy tervezi, hogy egy héten keresztül mindennap 2-szeresére növeli az edzéssel töltött időt.
Ma 3 perccel kezdi az edzést és úgy tervezi, hogy egy héten keresztül mindennap 2-szeresére növeli az edzéssel töltött időt.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a7 = ?
S7 = ?
Alapadatok:
a1 = 3
q = 2
Keresett mennyiségek:
a7 = ?
S7 = ?
Alapadatok:
a1 = 3
q = 2
Képletek:
1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
2. `S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`
1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
2. `S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`
a) Hány percet edz a
7. napon?
a7 = · perc
a7 = perc
a7 = · perc
a7 = perc
b) Hány órát edz összesen a héten?
S7 = · / perc
S7 = perc = óra
S7 = · / perc
S7 = perc = óra
| 6 pont |
464.
Egy hatalmas trópusi tavon a tavirózsák gyorsan szaporodnak,
az általuk befedett terület minden héten az előző hetinek
1,2-szeresére nő.
Megfigyelésünk első hetében 2m² volt a tavirózsák által befedett terület.
Megfigyelésünk első hetében 2m² volt a tavirózsák által befedett terület.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a8 = ?
n = ? (an = 2300)
Alapadatok:
q = 1,2
a1 = 2
Keresett mennyiségek:
a8 = ?
n = ? (an = 2300)
Alapadatok:
q = 1,2
a1 = 2
Képletek:
1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
2. `n = (lg ((a_n)/(a_1)))/(lg q) +1`
1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
2. `n = (lg ((a_n)/(a_1)))/(lg q) +1`
a) Mekkora területet takarnak be a tavirózsák a
8. héten?
a8 = ·
a8 = m²
a8 = ·
a8 = m²
b) Hányadik héten éri el a tavirózsával befedett terület a
2300m²t?
· n -1 =
n = lg/ lg + 1
n =
· n -1 =
n = lg/ lg + 1
n =
| 6 pont |
58. Mértani sorozat
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 457. | ||||
| 458. | ||||
| 459. | ||||
| 460. | ||||
| 461. | ||||
| 462. | ||||
| 463. | ||||
| 464. | ||||
| Ö.: | - | - |
