83. Szinusztétel, koszinusztétel
Segítséget
657.
Határozza meg a háromszög hiányzó adatait
(oldalait tized cm-re és a szögeit tized fokra kerekítve),
ha
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a) c = ? α = ? β = ? b) α = ? β = ? γ = ? c) c = ? α = ? γ = ? d) a = ? b = ? γ = ?
Alapadatok:
a) a = 80cm b = 52cm γ = 35,4° b) a = 25cm b = 15cm c = 18cm c) a = 8cm b = 10cm β = 75° d) c = 12cm α = 23° β = 84°
Keresett mennyiségek:
a) c = ? α = ? β = ? b) α = ? β = ? γ = ? c) c = ? α = ? γ = ? d) a = ? b = ? γ = ?
Alapadatok:
a) a = 80cm b = 52cm γ = 35,4° b) a = 25cm b = 15cm c = 18cm c) a = 8cm b = 10cm β = 75° d) c = 12cm α = 23° β = 84°
Képletek:
Koszinusz-tételek:
`a^2 = b^2 + c^2 -2*b*c*cos alpha` `b^2 = a^2 + c^2 -2*a*c*cos beta` `c^2 = a^2 + b^2 -2*a*b*cos gamma`
Szinusz-tételek:
`a/(sin alpha) = b/(sin beta) = c/(sin gamma)`
a)`[c = sqrt(a^2 + b^2 -2*a*b*cos gamma)]` `[alpha=sin^(-1)((a*sin gamma)/c)]` `[beta=sin^(-1)((b*sin gamma)/c)]`
b)`[gamma = cos^(-1)(-(c^2-a^2-b^2)/(2*a*b))]` `[beta = cos^(-1)(-(b^2-a^2-c^2)/(2*a*c))]` `[alpha = cos^(-1)(-(a^2-b^2-c^2)/(2*b*c))]`
c)`[alpha = sin^(-1)((a*sin beta)/b)]` `[gamma = 180°-(alpha + beta)]` `[c = (b*sin gamma)/(sin beta)]`
d) `[gamma = 180°-(alpha + beta)]` `[a = (c*sin alpha)/(sin gamma)]` `[b = (c*sin beta)/(sin gamma)]`
Koszinusz-tételek:
`a^2 = b^2 + c^2 -2*b*c*cos alpha` `b^2 = a^2 + c^2 -2*a*c*cos beta` `c^2 = a^2 + b^2 -2*a*b*cos gamma`
Szinusz-tételek:
`a/(sin alpha) = b/(sin beta) = c/(sin gamma)`
a)`[c = sqrt(a^2 + b^2 -2*a*b*cos gamma)]` `[alpha=sin^(-1)((a*sin gamma)/c)]` `[beta=sin^(-1)((b*sin gamma)/c)]`
b)`[gamma = cos^(-1)(-(c^2-a^2-b^2)/(2*a*b))]` `[beta = cos^(-1)(-(b^2-a^2-c^2)/(2*a*c))]` `[alpha = cos^(-1)(-(a^2-b^2-c^2)/(2*b*c))]`
c)`[alpha = sin^(-1)((a*sin beta)/b)]` `[gamma = 180°-(alpha + beta)]` `[c = (b*sin gamma)/(sin beta)]`
d) `[gamma = 180°-(alpha + beta)]` `[a = (c*sin alpha)/(sin gamma)]` `[b = (c*sin beta)/(sin gamma)]`
a) a háromszög két oldalának a hossza
80cm, illetve
52cm, a két oldal által közbezárt szög
35,4°
Adott:
a = 80cm b = 52cm γ = 35,4°
Ábra: (csal!!)
Keresett:
c² = + + ·
c = cm
sin α/ sin = /
α = 180° -° = (Legnagyobb szög!!!)
sin β/sin = /
β = °
Adott:
a = 80cm b = 52cm γ = 35,4°
Ábra: (csal!!)
Keresett:
c² = + + ·
c = cm
sin α/ sin = /
α = 180° -° = (Legnagyobb szög!!!)
sin β/sin = /
β = °
b) oldalai
25cm,
15cm és
1,8dm hosszúak
Adott:
a = 25cm b = 15cm c = 1,8dm = cm
Keresett:
= ( + ) + ·cosα
/ = cosα
= cosα
α = °
= ( + ) + ·cosα
/ = cosβ
= cosβ
β = °
= ( + ) + ·cosα
/ = cosγ
= cosγ
γ = °
Adott:
a = 25cm b = 15cm c = 1,8dm = cm
Keresett:
= ( + ) + ·cosα
/ = cosα
= cosα
α = °
= ( + ) + ·cosα
/ = cosβ
= cosβ
β = °
= ( + ) + ·cosα
/ = cosγ
= cosγ
γ = °
c) két oldala
8cm és
10cm hosszú, a
10cm-es oldallal szemközti szög
75°
Adott:
a = 8cm b = 10cm β = 75°
Keresett:
sinα/sin = /
sinα =
α = °
γ = 180° - - = °
c/ = sin/ sin
c = cm
Adott:
a = 8cm b = 10cm β = 75°
Keresett:
sinα/sin = /
sinα =
α = °
γ = 180° - - = °
c/ = sin/ sin
c = cm
d) egyik oldala
12cm, a rajta fekvő két szöge
23° és
84°!
Adott:
c = 12cm α = 23° β = 84°
Keresett:
γ = 180° - - = °
a/ = sin/ sin
a = cm
b/ = sin/ sin
b = cm
Adott:
c = 12cm α = 23° β = 84°
Keresett:
γ = 180° - - = °
a/ = sin/ sin
a = cm
b/ = sin/ sin
b = cm
| 12 pont |
658.
Egy rombusz oldalai
12cm hosszúak, az egyik szöge
38°.
Mekkorák a rombusz átlói?
Mekkorák a rombusz átlói?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
e = ?
f = ?
Alapadatok:
a = 12cm
α = 38°
Ábra: Keresett mennyiségek:
e = ?
f = ?
Alapadatok:
a = 12cm
α = 38°
Képletek:
Bontsuk fel a rombuszt egy átlóval két háromszögre!
1. Koszinusz-tétel:
`e^2 = a^2 + a^2 -2*a^2*cos alpha`
2. Koszinusz-tétel:
`beta = 180°-alpha`
β = ?
`f^2 = a^2 + a^2 -2*a^2*cos beta`
Bontsuk fel a rombuszt egy átlóval két háromszögre!
1. Koszinusz-tétel:
`e^2 = a^2 + a^2 -2*a^2*cos alpha`
2. Koszinusz-tétel:
`beta = 180°-alpha`
β = ?
`f^2 = a^2 + a^2 -2*a^2*cos beta`
β = 180°- = °
e² = 2· + ·
e = cm
f² = 2· + ·
f = cm
| 6 pont |
659.
Egy trapéz alapjai
130m, illetve
86m, míg szárai
38m, illetve
56m hosszúak.
Számolja ki a trapéz szögeit!
Számolja ki a trapéz szögeit!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Alapon fekvő szögek:
α = ?
β = ?
Alapadatok:
a = 130m
c = 86m
b = 38m
d = 56m
Ábra: Keresett mennyiségek:
Alapon fekvő szögek:
α = ?
β = ?
Alapadatok:
a = 130m
c = 86m
b = 38m
d = 56m
Toljuk el a szárakat párhuzamosan a másik oldalra!
Képletek:
1. Koszinusz-tétel:
`b^2 = (a-c)^2+d^2-2*(a-c)*d*cos alpha`
2. Koszinusz-tétel:
`d^2 = (a-c)^2+b^2-2*(a-c)*b*cos beta`
Képletek:
1. Koszinusz-tétel:
`b^2 = (a-c)^2+d^2-2*(a-c)*d*cos alpha`
2. Koszinusz-tétel:
`d^2 = (a-c)^2+b^2-2*(a-c)*b*cos beta`
= + + ·
α = °
= + + ·
β = °
γ = 180°- = °
δ = 180°- = °
| 8 pont |
660.
Egy konvex deltoid két oldala
14cm és
18cm hosszú, az általuk közbezárt szög
120°.
Mekkora a deltoid szimmetriátlója?
Határozza meg a deltoid ismeretlen szögeinek nagyságát!
Mekkora a deltoid szimmetriátlója?
Határozza meg a deltoid ismeretlen szögeinek nagyságát!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
e = ?
f = ?
Alapadatok:
a = 14cm
b = 18cm
β = 120°
Keresett mennyiségek:
e = ?
f = ?
Alapadatok:
a = 14cm
b = 18cm
β = 120°
Képletek:
Bontsuk a hosszabb átlóval két háromszögre a deltoidot!
1. Koszinusz-tétel:
`f^2 = a^2 + b^2 -2*a*b*cos gamma`
`b^2 = a^2 + f^2 -2*a*f*cos alpha`
`a^2 = b^2 + f^2 -2*b*f*cos beta`
`alpha = ?`
Bontsuk a hosszabb átlóval két háromszögre a deltoidot!
1. Koszinusz-tétel:
`f^2 = a^2 + b^2 -2*a*b*cos gamma`
`b^2 = a^2 + f^2 -2*a*f*cos alpha`
`a^2 = b^2 + f^2 -2*b*f*cos beta`
`alpha = ?`
= + + ·
f = cm
= + + ·
α = °
2α = °
= + + ·
β = °
2β = °
| 5 pont |
661.
Egy háromszög kerülete
25dm, szögeinek aránya
3:
7:
8.
Számolja ki a háromszög oldalait!
Számolja ki a háromszög oldalait!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a = ? b = ? c = ?
Alapadatok:
K = 25dm
α = 3*x β = 7*x γ = 8*x
Szögek: Keresett mennyiségek:
a = ? b = ? c = ?
Alapadatok:
K = 25dm
α = 3*x β = 7*x γ = 8*x
Képletek:
1. A háromszög belső szögeinek összege:
α+β+γ = 180°
α = ? β = ? γ = ?
2. A háromszög oldalainak összege:
a = y*sin α b = y*sin β c = y*sin γ
K = y*(sin α +sin β + sin γ)
y = ?
1. A háromszög belső szögeinek összege:
α+β+γ = 180°
α = ? β = ? γ = ?
2. A háromszög oldalainak összege:
a = y*sin α b = y*sin β c = y*sin γ
K = y*(sin α +sin β + sin γ)
y = ?
x + x + x = 180°
x =
α = °
β = °
γ = °
= y·( + + )
`a/(sin alpha) = b/(sin beta) = c/(sin gamma)` értéke:
y =
Oldalak:
a = dm
b = dm
c = dm
| 7 pont |
662.
Egy háromszög két oldalának hossza
13, illetve
18 egység, az általuk közbezárt szög
54°.
Mekkora a háromszög harmadik oldalához tartozó súlyvonal hossza?
Mekkora a háromszög harmadik oldalához tartozó súlyvonal hossza?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
sc = ?
Alapadatok:
a = 13
b = 18
γ = 54°
Ábra: Keresett mennyiségek:
sc = ?
Alapadatok:
a = 13
b = 18
γ = 54°
Képletek:
Eredeti háromszögre:
1. Koszinusz-tétel:
`c^2 = a^2+b^2-2*a*b*cos gamma`
c = ?
2.Szinusz-tétel:
`sin alpha = (a*sin gamma)/c`
β = ?
Súlyvonal által kettéosztott háromszögre:
3. Koszinusz-tétel:
`s^2 = (c/2)^2 + b^2 - b*c*cos alpha`
Eredeti háromszögre:
1. Koszinusz-tétel:
`c^2 = a^2+b^2-2*a*b*cos gamma`
c = ?
2.Szinusz-tétel:
`sin alpha = (a*sin gamma)/c`
β = ?
Súlyvonal által kettéosztott háromszögre:
3. Koszinusz-tétel:
`s^2 = (c/2)^2 + b^2 - b*c*cos alpha`
c² = + + ·
c =
x =
sin α/sin = /
α = °
s² = + + ·
s =
| 6 pont |
663.
Egy háromszög két oldalának hossza
84cm, illetve
96cm.
A háromszög területe
2016cm².
Számolja ki a háromszög harmadik oldalának a hosszát és a szögeit!
Számolja ki a háromszög harmadik oldalának a hosszát és a szögeit!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
c = ? α = ? β = ? γ = ?
Alapadatok:
a = 84cm
b = 96cm
T = 216 cm²
Trigonometrikus területképlet alkalmazásaKeresett mennyiségek:
c = ? α = ? β = ? γ = ?
Alapadatok:
a = 84cm
b = 96cm
T = 216 cm²
Képletek:
1. Trigonometrikus területképlet:
`T = (a*b*sin gamma)/2`
γ = ?
2. Koszinusz-tétel:
`c^2 = a^2 + b^2 -2*a*b*cos gamma`
3. Szinusz-tételek:
`sin alpha = (a*sin gamma)/c`
`sin beta = (b*sin gamma)/c`
1. Trigonometrikus területképlet:
`T = (a*b*sin gamma)/2`
γ = ?
2. Koszinusz-tétel:
`c^2 = a^2 + b^2 -2*a*b*cos gamma`
3. Szinusz-tételek:
`sin alpha = (a*sin gamma)/c`
`sin beta = (b*sin gamma)/c`
= (· · sin γ)/2
1. megoldás: (Ha γ hegyesszög)
γ1 = °
c² = + + ·
c1 = cm
sin α/ sin = /
α1 = °
sin β/ sin = /
β1 = °
2. megoldás: (Ha γ tompaszög)
γ2 = 180°- ° = °
c² = + + ·
c2 = cm
sin α/ sin = /
α2 = °
sin β/ sin = /
β2 = °
| 8 pont |
664.
A tatai Öreg-tó partján álló híres Platánfa és a tóból kiemelkedő Keresztelő Szent János szobor távolságát szerettük volna meghatározni.
Ezért a fától egyenes vonalban alindultunk a sétányon, 10 méter megtétele után a fa és a szobor látószögét 35°-ra mértük.
Ugyanabban az irányban további 10 métert megtéve a szobor látószögét 23°-nak mértük.
Milyen messze van a fától a szobor?(Válaszát egész méterre kerekítve adja meg!)
Ezért a fától egyenes vonalban alindultunk a sétányon, 10 méter megtétele után a fa és a szobor látószögét 35°-ra mértük.
Ugyanabban az irányban további 10 métert megtéve a szobor látószögét 23°-nak mértük.
Milyen messze van a fától a szobor?(Válaszát egész méterre kerekítve adja meg!)
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
FS = x = ?
Alapadatok:
FA = 10m = d
AB = 10m = d
FB = 20m
α = 35°
β = 23°
SAB ∢ = °Keresett mennyiségek:
FS = x = ?
Alapadatok:
FA = 10m = d
AB = 10m = d
FB = 20m
α = 35°
β = 23°
Képletek:
1. ABS háromszög szögei:
β és 180°-α(külső szög) és α - β
2. Szinusz-tétel:
AS = y
`y = (d*sin beta)/(sin (alpha-beta))`
y = ?
3. Koszinusz-tétel:
`x^2 = d^2+y^2-2*d*y*cos alpha`
1. ABS háromszög szögei:
β és 180°-α(külső szög) és α - β
2. Szinusz-tétel:
AS = y
`y = (d*sin beta)/(sin (alpha-beta))`
y = ?
3. Koszinusz-tétel:
`x^2 = d^2+y^2-2*d*y*cos alpha`
ASB ∢ = °
AS = m
FS = m
| 8 pont |
83. Szinusztétel, koszinusztétel
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 657. | ||||
| 658. | ||||
| 659. | ||||
| 660. | ||||
| 661. | ||||
| 662. | ||||
| 663. | ||||
| 664. | ||||
| Összesen: | - | - |
