59. Vegyes sorozatos feladatok
Segítséget1. Szövegértéses számtani sorozat
465.
Mekkora az
1848-nál kisebb,
hárommal osztva
2 maradékot adó pozitív egész számok összege?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
an = ?
n = ?
Sn = ?
Alapadatok:
a1 = 2
d = 3
an = =
+ (n -1)*
Keresett mennyiségek:
an = ?
n = ?
Sn = ?
Alapadatok:
a1 = 2
d = 3
Képletek:
1. an = 3*(n-1)+2 < 1848
2. `Sn = n*(a1 + an)/2`
1. an = 3*(n-1)+2 < 1848
2. `Sn = n*(a1 + an)/2`
n =
Sn =
| 6 pont |
466.
Egy tanév alatt összesen
2178 matematikapéldát oldott meg Dotti, az első nap
8, minden következő héten
3-mal több feladatot, mint az előzőn.
Hány példát oldott meg az utolsó héten Dotti?
Hány hétig foglalkozott ebben a tanévben Dotti a matematikafeladatokkal?
Hány példát oldott meg az utolsó héten Dotti?
Hány hétig foglalkozott ebben a tanévben Dotti a matematikafeladatokkal?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
n = ?
maradek = ?
Alapadatok:
S = 2178
a1 = 8
d = 3
(2*+(n-1)*
)/2 =
Keresett mennyiségek:
n = ?
maradek = ?
Alapadatok:
S = 2178
a1 = 8
d = 3
Képletek:
1. `Sn = (n*(2*a1 +(n-1)*d))/2 < S`
(Másodfokú egyenletmegoldás!)
2. an = a1 + (n -1)d
1. `Sn = (n*(2*a1 +(n-1)*d))/2 < S`
(Másodfokú egyenletmegoldás!)
2. an = a1 + (n -1)d
*n² + n + = 0
Pozitív gyök:
n =
an =
| 6 pont |
2. Számtani és mértani sorozat összehasonlítása
467.
Két testvér két hétig perselybe teszi a nyári munkával megkeresett pénzét.
Kati mindennap 100 forinttal többet tesz a perselybe, mint az előző napon, Kitti naponta megduplázza a perselybe dobott pénz értékét.
Kati a tizenegyedik napon 2900Ft-ot, Kitti az első napon 5 forintot dob a perselybe.
Kati mindennap 100 forinttal többet tesz a perselybe, mint az előző napon, Kitti naponta megduplázza a perselybe dobott pénz értékét.
Kati a tizenegyedik napon 2900Ft-ot, Kitti az első napon 5 forintot dob a perselybe.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
S14a = ?, S14b = ?
n1 = ? (Sna ≥ 30 000Ft)
n2 = ? (Snb > 20 000Ft)
Alapadatok:
Kati:
d = 100
a11 = 2900
Kitti:
q = 2
b1 = 5
Keresett mennyiségek:
S14a = ?, S14b = ?
n1 = ? (Sna ≥ 30 000Ft)
n2 = ? (Snb > 20 000Ft)
Alapadatok:
Kati:
d = 100
a11 = 2900
Kitti:
q = 2
b1 = 5
Képletek:
Kati:
1. an = a1 + (n -1)*d
2.`Sna = (n*(2*a1+(n-1)*d))/2
(Másodfokú egyenlet!)
Kitti:
1.`Snb = n*(q^n-1)/(q-1)`
(Hatványkitevő keresés = logaritmus!)
Kati:
1. an = a1 + (n -1)*d
2.`Sna = (n*(2*a1+(n-1)*d))/2
(Másodfokú egyenlet!)
Kitti:
1.`Snb = n*(q^n-1)/(q-1)`
(Hatványkitevő keresés = logaritmus!)
a) Mennyi pénzt gyűjtenek össze 2 hét (14 nap) alatt külön külön?
Kati:
= a1 + *
a1 =
S14 =
Kitti:
S14 =
Kati:
= a1 + *
a1 =
S14 =
Kitti:
S14 =
b) Hányadik napon lesz Kati perselybeli pénze legalább 30 000Ft?
≤ (2· + (n-1)· )·n/2
n² + n + ≥ 0
n ≥
≤ (2· + (n-1)· )·n/2
n² + n + ≥ 0
n ≥
c) Hányadik napon éri el Kitti perselybeli pénze a 20 000Ft-ot?
≤ · (^n -1)/( -1)
≤ ^n
n =
≤ · (^n -1)/( -1)
≤ ^n
n =
| 6 pont |
3. Számtaniból mértani sorozat
468.
Határozza meg azt a
háromjegyű számot, amelyről a következőt tudjuk:
1. számjegyeinek összege 15
2. számjegyei egy növekvő számtani sorozat egymást követő elemei
3. ha a tizesek helyén álló számjegyet 1-gyel csökkentjük, akkor a kapott háromjegyű szám számjegyei egy mértani sorozat egymást követő elemei.
1. számjegyeinek összege 15
2. számjegyei egy növekvő számtani sorozat egymást követő elemei
3. ha a tizesek helyén álló számjegyet 1-gyel csökkentjük, akkor a kapott háromjegyű szám számjegyei egy mértani sorozat egymást követő elemei.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Három számjegy = ?
Alapadatok:
Három szám: x-d; x; x+d
Keresett mennyiségek:
Három számjegy = ?
Alapadatok:
Három szám: x-d; x; x+d
Képletek:
1. x-d + x + x +d =15
2. `(x-1)/(x-d) = (x+d)/(x-1)`
1. x-d + x + x +d =15
2. `(x-1)/(x-d) = (x+d)/(x-1)`
| Számtani sorozat: | x -d | x | x +d |
| Mértani sorozat: | x-d; | x-1; | x+d |
x =
( -d)( +d) = ²
d² + d + = 0
d1 =
és
d2 =
Szám =
| 4 pont |
469.
Helgának egymás után három napon összesen
6 új ismerőse lett egy közösségi oldalon,
az egymás utáni napokon szerzett ismerősök száma egy számtani sorozat első három tagjának felel meg.
Ha
Melyik ez a mértani sorozat?
Ha
- az első napon 5-tel több,
- a második napon 2-vel több,
- a harmadik napon 1-gyel több
Melyik ez a mértani sorozat?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Mértani sorozat = ?
Alapadatok:
Számok:
x-d; x; x+d (Számtani sorozat: a1; a2; a3)
x-d+5; x+2; x+d+1 (Mértani sorozat: b1; b2; b3)
Keresett mennyiségek:
Mértani sorozat = ?
Alapadatok:
Számok:
x-d; x; x+d (Számtani sorozat: a1; a2; a3)
x-d+5; x+2; x+d+1 (Mértani sorozat: b1; b2; b3)
Képletek:
1. x-d + x + x+d = 6
2. `(x+2)/(x-d+5) = (x+d+1)/(x+2)`
1. x-d + x + x+d = 6
2. `(x+2)/(x-d+5) = (x+d+1)/(x+2)`
| Számtani sorozat: | x -d | x | x +d |
| Mértani sorozat: | x-d+5; | x+2; | x+d+1 |
x =
( -d)( +d) = ²
d² + d + = 0
d1 =
és
d2 =
A mértani sorozat elemei:
b1 = x-d+5 =
b2 = x+2 =
b3 = x+d+1 =
| 6 pont |
4. Mértaniból számtani soroztat
470.
Egy háromszög oldalai egy mértani sorozat egymást következő elemei.
Ha
Mekkorák a háromszög oldalai?
Ha
- a legrövidebb oldalt 3cmrel csökkentjük,
- a középső oldalt 4cmrel csökkentjük,
- a leghosszabb oldalt pedig 6cmrel csökkentjük,
Mekkorák a háromszög oldalai?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Alapadatok:
x+d; x; x+d (Számtani sorozat: a1; a2; a3)
x+d+3; x+4; x+d+6 (Mértani sorozat: b1; b2; b3)
Keresett mennyiségek:
Alapadatok:
x+d; x; x+d (Számtani sorozat: a1; a2; a3)
x+d+3; x+4; x+d+6 (Mértani sorozat: b1; b2; b3)
Képletek:
1. `x-d + x + x+d = 24`
2. `(x-d+3)(x+d+6) = x +4`
(Kétismeretlenes egyenletrendszer!)
1. `x-d + x + x+d = 24`
2. `(x-d+3)(x+d+6) = x +4`
(Kétismeretlenes egyenletrendszer!)
| Számtani sorozat: | x -d | x | x +d |
| Mértani sorozat: | x-d+3; | x+4; | x+d+6 |
x =
( -d)( +d) = ²
d² + d + = 0
d1 =
és
d2 =
A háromszög oldalai:
a1 = x -d +3 = cm
a2 = x +4 = cm
a3 = x +d +6 = cm
| 6 pont |
471.
Három szám egy számtani sorozat első három eleme.
Közülük a legnagyobb és a legkisebb összege 20. Ha
Határozza meg a számtani sorozat differenciáját és a mértani sorozat kvóciensét!
Közülük a legnagyobb és a legkisebb összege 20. Ha
- az első számhoz 1-et hozzáadunk,
- a másodikhoz 5-öt hozzáadunk,
- a harmadikhoz pedig 13-at hozzáadunk,
Határozza meg a számtani sorozat differenciáját és a mértani sorozat kvóciensét!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
d = ?
q = ?
Alapadatok:
x-d; x; x+d (számtani s.:a1; a2; a3)
x-d+1; x+5; x+d+13 (mértanis.: b1; b2; b3)
Keresett mennyiségek:
d = ?
q = ?
Alapadatok:
x-d; x; x+d (számtani s.:a1; a2; a3)
x-d+1; x+5; x+d+13 (mértanis.: b1; b2; b3)
Képletek:
1. x-d + x+d = 20.
2. `q =(x+5)/(x-d+1)=(x+d+13)/(x+5)`
1. x-d + x+d = 20.
2. `q =(x+5)/(x-d+1)=(x+d+13)/(x+5)`
| Számtani sorozat: | x -d | x | x +d |
| Mértani sorozat: | x-d+1; | x+5; | x+d+13 |
x =
( -d)( +d) = ²
d² + d + = 0
d1 =
q1 =
és
d2 =
q2 =
| 6 pont |
472.
Egy mértani sorozat három egymást követő tagjaival a következőt tesszük:
Határozza meg ennek a sorozatnak a differenciáját!
- az első taghoz hozzáadunk 8-at,
- a másodikat 4-gyel csökkentjük,
- a harmadikat 48-cal csökkentjük.
Határozza meg ennek a sorozatnak a differenciáját!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
d = ?
Alapadatok:
Fontos a sorrend! x-d;x; x+d (Számtani s.: a1 a2, a3) x-d-8; x+4; x+d+48; (Mértani s.: b1; b2; b3)
Keresett mennyiségek:
d = ?
Alapadatok:
Fontos a sorrend! x-d;x; x+d (Számtani s.: a1 a2, a3) x-d-8; x+4; x+d+48; (Mértani s.: b1; b2; b3)
Képletek:
1. `S_n = 180`
2. `b_2^2 = b2*b3`
1. `S_n = 180`
2. `b_2^2 = b2*b3`
| Számtani sorozat: | x -d | x | x +d |
| Mértani sorozat: | x-d-8; | x+4; | x+d+48 |
x =
Mértani sorozatra:
b1·b3 = b2²
( -d)( +d) = ²
d² + d + = 0
d1 =
d2 =
| 8 pont |
59. Vegyes sorozatos feladatok
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 465. | ||||
| 466. | ||||
| 467. | ||||
| 468. | ||||
| 469. | ||||
| 470. | ||||
| 471. | ||||
| 472. | ||||
| Ö.: | - | - |
