31. Exponenciális egyenletek

31. Exponenciális egyenletek

Segítséget mutat nem mutat

Logaritmussal, illetve a hatványozás azonosságaival megoldható exponenciális egyenletek

241. Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 Egyszerűbb szerkezetű exponenciális egyenletek

Képletek:
1. Alakítsuk a jobb oldalt hatványkifejezéssé: pl. 25 = 5^2
2. A monotonitás miatt az alap elhagyható
3. Oldjuk meg a lineáris egyenletet
VAGY Alkalmazzuk a logaritmus fogalmát (AJÁNLOTT ilyen esetben):
`a^x=b → x=log_ab=(lg b)/(lg a)`

a) 5^x = 125

5x = 5		| monotonitás

x =

b) 2^{x -4} = 1

2x -4 = 2		| monotonitás

x =

c) 3^{x +4}`= 1/81`

3x +4 = 3		| monotonitás

x =

6 pont

242. Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 Exponenciális egyenletek

Képletek:
1. Írjuk fel a baloldali alapot/alapokat prímhatványokként:
 (4 = 2²; 25 = 5²; 125 = 5³)
2. Alkalmazzuk: `(a^n)^m = a^(n*m)` azonosságot.
3. Alakítsuk át a jobb oldalt prímhatvánnyá.
4. Szorzat esetén alkalmazzuk: `a^n*a^m=a^(n+m)`
4. Monotonitás:
 Az exponenciális függvény szigorúan monoton növekszik, ezért minden értéket csak egyszer vesz fel.
 Ennek megfelelően, ha az alapok megegyeznek, akkor a kitevőknek is meg kell egyezniük.
 Vagyis az azonos alapok elhagyhatók.
5. Ezt követően lineáris egyenletet kell megoldani.

a) 4^2x+3 = 8

2	·(2x+3)	= 2		|monotonitás

x +  = 
x =

b) 2^x·8 = 4^2x-3

2x·2		= 2	·(2x-3)

2	x +	= 2	x +	|monotonitás

x =

c) 5·25^x+2 = 125^2x-1

5		·5	·(x+2)	= 5	·(2x-1)

5	x +	= 5	x +	|monotonitás

x =
x =

6 pont

2. Kiemeléssel megoldható exponenciális egyenletek

243. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
 4^x+1 -3·4^x-1 = 52

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 Többtagú exponenciális egyenlet

Képletek:
1. Alkalmazzuk az `a^(n+m)=a^n*a^m` azonosságot.
2. Emeljük ki az exponenciális kifejezést.
3. Az exponenciális kifejezés szorzótényezőjével osszunk.

4^x· - 4^x· = 52
·4^x = 52
4^x =
x =

6 pont

244. Oldja meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán!
 `(1/3)^(x-1)-2*(1/3)^(x+1)=`21

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 Többtagú exponenciális egyenlet

Képletek:
1. Alkalmazzuk az `a^(n+m)=a^n*a^m` azonosságot.
2. Emeljük ki az exponenciális kifejezést.
3. Az exponenciális kifejezés szorzótényezőjével osszunk.

`(1/3)^x·` - `(1/3)^x·` = 21
`*(1/3)^x` = 21
`(1/3)^x = `
x =

6 pont

3. Másodfokúra vezető exponenciális egyenletek

245. Oldja meg a következő egyenletet a természetes számok halmazán!
 5^{x²+2x -12} = 125

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x1 = ?, x2 = ?
Alapadatok:
 Másodfokúra vezető exponenciális egyenlet

Képletek:
1. Alkalmazzuk a logaritmus fogalmát:
`a^x=b → x=log_ab=(lg b)/(lg a)`
2. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!

x² +2x -12 =
x² +x + = 0
a = b = c =

`x_(1,2) =`	( ±√ ( + ))

`x_(1,2) =`	( ± )

`x_1 =`	( - )	=

`x_2 =`	( + )	=

6 pont

246. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
 3·9^x -28· 3^x +9 = 0

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x1 = ?, x2 = ?
Alapadatok:
 Másodfokúra vezető exponenciális egyenlet

Képletek:
1. Vezessünk be új ismeretlent:
`y = 3^x` és `y^2 = 9^x`

y² + y + = 0

`y_(1,2) =`	( ±√ ( + ))

`y_(1,2) =`	( ± )

`y_1 =`	( - )	= (= 3x)

`x_1 =`

`y_2 =`	( + )	= (= 3x)

`x_2 =`

6 pont

247. Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán!
 4^x -2^x+1 -8 = 0

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x1 = ?, x2 = ?
Alapadatok:
 Másodfokúra vezető exponenciális egyenlet

Képletek:
1. Alkalmazzuk az `a^(n+m)=a^n*a^m` azonosságot.
2. Vezessünk be új ismeretlent:
`y = 2^x` és `y^2 = 4^x`

4^x -2^x· -8 = 0
y² + y + = 0

`y_(1,2) =`	( ±√ ( + ))

`y_(1,2) =`	( ± )

`y_1 =`	( - )	=

`x_1 =`

`y_2 =`	( + )	= ( = 2x)

`x_2 =`

6 pont

4. Nem egészértékű megoldású exponenciális egyenletek

248. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
A megoldást négy tizedes jegyre kerekítve adja meg!
 3·2^x -2^x = 60

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 Exponenciális egyenlet

Képletek:
1. Emeljük ki a 2^x-t
(`2^x = 1*2^x`)
2. Osszunk a 2^x együtthatójával.
3. Alkalmazzuk a logaritmus fogalmát:
`a^x=b → x=log_ab=(lg b)/(lg a)`

2^x· = 60
2^x =
x = lg / lg ≈

6 pont

31. Exponenciális egyenletek

NÉV:
JEGY: IDŐ:

Ssz.	Max pont	Pont	Paraméter	Be
241.
242.
243.
244.
245.
246.
247.
248.
Ö.:			-	-