57. Számtani sorozat

57. Számtani sorozat

Segítséget mutat nem mutat

1. Képletalkalmazásos feladatok

449. Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája 3.
Határozza meg a sorozat 10. elemét és az első 10 tag összegét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a10 = ?
 S10 = ?
Alapadatok:
 a1 = 8
 d = 3

Képletek:
1. an = a1 + (n -1)*d
2. `Sn = n*(a1 +an)/2`

a_10 = + · =
S_10 = ( + )/2· =

4 pont

450. Egy számtani sorozat első eleme -4, 11. eleme 11.
Mekkora a sorozat differenciája?
Számolja ki az első 8 tag összegét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 d = ?
 S8 = ?
Alapadatok:
 a1 = -4
 a11 = 11

Képletek:
1. an = a1 + (n -1)*d
2. `Sn = n*(a1 +an)/2 =n*(2*a1+(n-1)*d)/2`

a_11 = = + ·d
d =
a_8 = + · =
S_8 = ( + )/2· =

6 pont

451. Egy számtani sorozat 7. tagja 9, 14. tagja -19.
Számolja ki a sorozat első elemét és differenciáját, valamint az első 10 tag összegét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a1 = ?
 d = ?
 S10 = ?
Alapadatok:
 a7 = 9
 a14 = -19

Képletek:
1. an = a1 + (n -1)*d
(Kétismeretlenes egyenletrendszer!)
2. `Sn = n*(a1 +an)/2 =n*(2*a1+(n-1)*d)/2`

a_n - a_k = = (n - k)·d = ·d
d =
= a1 + ·
a1 =
a10 = + · =
S10 = ( + )/2· =

6 pont

452. Egy számtani sorozat első eleme -13, differenciája 7, az első n elem összege 540.
Határozza meg n értékét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 n = ?
Alapadatok:
 a1 = -13
 d = 7
 Sn = 540

Képletek:
1. `Sn = (n*(2*a1+(n-1)*d))/2`
(Másodfokú egyenlet megoldása!)

Sn = = (2*+(n -1)· )·n/2  |·2
= ( + ·n + )·n
= (·n + )·n
·n² + ·n + = 0
a = ,   b = ,   c =

`n_(1,2) =`	( ±√ ( + ))

`n_(1,2) =`	( ± )

`n_1 =`	( - )	=

`n_2 =`	( + )	=

Pozitív gyök:
n =

6 pont

453. Egy számtani sorozat hetedik eleme 9, nyolcadik eleme 13.
Eleme-e ennek a sorozatnak az 1301?
Ha igen, adja meg, hogy hányadik eleme! Válaszát számolással indokolja!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a1 = ?
 d = ?
 1301 eleme-e = ?
Alapadatok:
 a7 = 9
 a8 = 13

Képletek:
1. an = a1 + (n -1)*d
(Kétismeretlenes egyenletrendszer!)

d = - =
= a1 + ·
a1 =
1301 = + (n -1)·
Az 1301 a sorozatnak a . eleme.

6 pont

2. Szöveges feladatok

454. Ádám angol szavakat tanul. Ma megtanult 10 szót és azt tervezi, hogy mostantól mindennap 2 szóval többet tanul majd meg, mint az előző napon.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a15 = ?
 S30 = ?
Alapadatok:
 a1 = 10
 d = 2

Képletek:
1. an = a1 + (n -1)*d
2. `Sn = n*(2*a1+(n-1)*d)/2`

a) Hány szót tanul meg a 15. napon?
a_(15) = + ·
a_(15) =

b) Hány szót tanul meg összesen ebben a hónapban (30 nap alatt)?
a_(30) = + ·
a_(30) =
S_(30) = ( + )/2·
S_(30) =

4 pont

455. A könyvesboltban minden polcon ugyanannyival több Felvételi tájékoztató van, mint az alatta levőn.
A második és a nyolcadik polcon összesen 38 könyv van,
a kilencedik polcra 24-gyel több könyvet tettek, mint a harmadikra.
Hány tájékoztató van az első polcon, illetve a hetedik polcon?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a1 = ?
 d = ?
 a7 = ?
Alapadatok:
 a2 + a8 = 38
 a9 - a3 = 24

Képletek:
1. an = a1 + (n -1)*d
(Kétismeretlenes egyenletrendszer)
2. `Sn = n*(2*a1+(n-1)*d)/2`

1. a2 + a8 =
2. a9 - a3 =  
2. a1 +d -a1 - d = d =
d =
1. a1 + d + a1 +d = 2a1 + d =
2a1 + · =
a1 =
a7 = + · =

6 pont

456. A vizes világbajnokság egyik úszódöntőjén az első sorban 150 néző ült, és minden további sorban 5-tel többen ültek, mint az előtte lévőben.
Minden sor 18cm-rel magasabban volt, mint a megelőző.
Tudjuk még, hogy az utolsó sorban ülők 5,22m-rel voltak magasabban, mint azok, akik az elsőben ültek.
Hányan voltak ezen az úszódöntőn?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 n = ?
 Sn = ?
Alapadatok:
 a1 = 150
 d = 5
 D = 18cm
 Tav = 522cm

Képletek:
1. Tav = D*n
2. `Sn = n*(2*a1+(n-1)*d)/2`

n = cm/ cm + =
an = + · =
Sn = ( + )/2· =

6 pont

57. Számtani sorozat

NÉV:
JEGY: IDŐ:

Ssz.	Max pont	Pont	Paraméter	Be
449.
450.
451.
452.
453.
454.
455.
456.
Ö.:			-	-