55. Szöveges feladatok függvényekkel

55. Szöveges feladatok függvényekkel

Segítséget mutat nem mutat

433. Az Oktatási Hivatal minden évben értékeli az érettségi eredményeit. Az egyik honlap a 2006 és 2015 közötti adatokat szemlélve az összes érettségi jegyből számította az évenkénti érettségi átlagokat, és az eredményeket a mellékelt grafikonon közölte.

Év	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2013	2015
Átlag	3,65	3,55	3,55	3,66	3,62	3,65	3,59	3,57

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Jellemző értékek
Alapadatok:
 datsor

Képletek:
1. Változás = következő érték - előző érték

a) Melyik év(ek)ben volt a legalacsonyabb az érettségi átlaga?
Év1 =
Év2 =

b) Melyik évről melyik évre változott legtöbbet az érettségi átlag, mennyi és milyen irányú volt ez a változás?
Legnagyobb változás:
2006-2007 között 2007-2008 között 2008-2009 között 2009-2010 között 2010-2011 között 2011-2013 között 2013-2015 között történt.
A változás jellege:
növekedés csökkenés .
Mértéke = .

c) Mennyi lett volna a 2017-es érettségi átlaga, ha ugyanolyan mértékben csökken, mint 2013 és 2015 között?
Új átlag = .

6 pont

434. Budapestről Tatabányára reggel 7 órakor indul egy tehervonat, ugyanekkor Tatabányáról egy Railjet indul Budapestre. Mindkét vonat megállás nélkül, egyenletes sebességgel halad. A koordináta-rendszerben a két vonat Budapesttől való távolság-idő diagramja látható.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Függvényjellemzők
Alapadatok:
 Függvénygrafikon

Képletek:
1. Sebesség = függvény meredeksége.
2. Koordináták = adott pont tengelyekre eső merőleges vetületei.

a) Mekkora sebességgel haladt a tehervonat?
vtv = km/h

b) Mikor és Budapesttől milyen messze találkozik a két vonat?
vRj = km/h
t = perc
s = km

c) Mikor lesz a Railjet Budapesttől 15km-re?
t = perccel az indulás után.

6 pont

435. Adottak a valós számokon értelmezett f(x) = x² +4x -9 és g(x) = -2x +7 függvények.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Metszéspont
 Értékkészlet
 Táblázatértékek
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabályok

Képletek:
1. Metszéspont: f(x) = g(x).
(Másodfokú egyenlet megoldása!)
2. Értékkészlet: teljes négyzetté alakítással a csúcspont meghatározható.
3. Táblázatkitöltés:
Behelyettesítés, illetve egyenletmegoldás.

a) Adja meg a két függvény metszéspontjainak koordinátáit!
M1 = (;)
M2 = (;)

b) Határozza meg az f függvény értékkészletét!
ÉK: x ≥

c) Számítsa ki a táblázatok hiányzó értékeit!

x	2	;
f(x)		12

x	2
g(x)		12

6 pont

436. Egy téglalap alakú telek körbekerítéséhez 120 méternyi kerítésre van szükség.
Mekkorának választották meg a telek kimérésekor az oldalait, ha tudjuk, hogy területe maximális lett?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a = ?
 b = ? (T = max)
Alapadatok:
 K = 120m

Képletek:
1. K = 2*(a + b) → b = K/2 -a
2. T = a*b = a*(K/2 -a) = - a² + K/2*a
3. T = -(a - K/4)² + K²/16

a = m
b = m

4 pont

437. Amikor már 8000 influenzás beteget regisztráltak az országban, az influenzát hivatalosan járvánnyá minősítették. A járvány bejelentését követően arra számítanak, hogy 2 hónapig minden héten várhatóan 1,5-szeresére nő az influenzás betegek száma.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Képlet = ?
 Táblázatkitöltés
 b8 = ?
Alapadatok:
Kezdeti szakasz:
 a1 = 8000
 qa = 1,5
Második szakasz:
 b1 = a8
 qb = 2/3

Képletek:
1. `an = a1*q^(n-1)`

a) Adjon képletet az influenzás betegek várható számára, jelölje a járvánnyá minősítés óta eltelt hetek számát t-vel (t<=8)!
an = · ^t

b) Számolja ki a táblázat hiányzó értékeit (a betegek számát egészre kerekítve adja meg):

Eltelt idő(hét)	0	1			8
Az influenzás betegek száma(fő)			27000	91125

c) Az influenzás betegek száma a 8. héten érte el a maximumot, a 9.héttől kezdve már csökkent, mégpedig minden héten az előző heti betegek számának 2/3-részére. A járvánnyá minősítéstől számított 15. héten hány influenzás beteg lesz az országban?
b1 =
b8 =

6 pont

438. Jelölje X-szel a táblázatban azokat a tulajdonságokat, amelyek jellemzőek a valós számok legbővebb halmazán értelmezett függvényre!

	van minimuma	van maximuma	nincs szélsőértéke	van zérushelye	szigorúan monoton nő	szigorúan monoton csökken
a. x ↦ 2x -3	X	X	X	X	X	X
b. x ↦ -(x -3)² +4	X	X	X	X	X	X
c. x ↦ (x +4)² +1	X	X	X	X	X	X
d. x ↦ |x +5| -3	X	X	X	X	X	X
e. x ↦ -|x| -2	X	X	X	X	X	X
f. `x ↦ sqrt(x)-2`	X	X	X	X	X	X
g. `x ↦ 3^x-9`	X	X	X	X	X	X
h. `x ↦ (1/4)^x`	X	X	X	X	X	X
i. `x ↦ log_4 x`	X	X	X	X	X	X
j. `x ↦ log_(1/4)x`	X	X	X	X	X	X

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Függvényjellemzők teljesülése
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabályok
 Függvényjellemzők

Ismeretek:
1. Hasznos lehet egy vázlatos ábrázolás

5 pont

Kamatos kamatszámítás

439. A bankba betett pénzünk 5%-ot kamatozik minden évben. Ha év végén nem vesszük ki a betett összeget, akkor a kamat is kamatozik a következő évben. Ekkor a t évre befektetett T0 összeg `T=T0*1,05^t` értékre növekszik.
Ezt az összefüggést használva válaszoljon a következő kérdésekre!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Kamatos kamatszámítás hiányzó paramétere
Alapadatok:
 Kmatos kamatszámítás adott paraméterei
 % = 5%

Képletek:
1. `ZT =KT*(1+%/100)^n`
2. `KT=(ZT)/(1+%/100)^n`
3. `n = log_(1+%/100)((ZT)/(KT))`

a) Ha beteszünk a bankba 100 000Ft-ot, akkor mennyi pénzt vehetünk fel 3 év múlva?
ZT = Ft.

b) Mekkora összeget tettünk be a bankba, ha 4 év múlva 243 101,25 forintot vehetünk fel?
KT = Ft.

c) Hány évre tettünk be 400 000Ft-ot, ha a kamatozási időszak végére 651 558 forintunk lett?
n = év

6 pont

440. Beteszünk a bankba T0 összeget, ami t év alatt T összegre növekszik, évente p%-os kamatlábbal. Ekkor t év alatt a bankba tett összeg és a kamatokkal felnövekedett összeg között a következő összefüggé áll fenn:
`t=(lg(T)-lg(T0))/(lg(100+p)-2)`

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Kamatos kamatszámítás hiányzó paramétere
Alapadatok:
 Kmatos kamatszámítás adott paraméterei

Képletek:
1. `n = log_(1+%/100)((ZT)/(KT))`
2. `ZT =KT*(1+%/100)^n`
3. `KT=(ZT)/(1+%/100)^n`

a) Ha beteszünk a bankba 150 000 forintot évi 3%-os kamatra, akkor a képlet alapján hány év múlva lesz a felnövekedett pénzünk 184 481Ft?
n = év

b) 3 évre betettem 250 000Ft-ot évi 4%-os kamatra a bankba.
Mennyi lesz 3 év alatt a kamatokkal felnövekedett pénzem a fenti képlettel számolva?
ZT = Ft.

4 pont

55. Szöveges feladatok függvényekkel

NÉV:
JEGY: IDŐ:

Ssz.	Max pont	Pont	Paraméter	Be
433.
434.
435.
436.
437.
438.
439.
440.
Ö.:			-	-