88. Kör egyenlete
Segítséget
697.
Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja K(
2;
-3) és sugara
3 egység!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
k = ?
Alapadatok:
u = 2
v = -3
r = 3
k: (x +)² + (y +
)² =
Keresett mennyiségek:
k = ?
Alapadatok:
u = 2
v = -3
r = 3
Képletek:
1. Kör egyenlete:
k:`(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 `
1. Kör egyenlete:
k:`(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 `
| 3 pont |
698.
Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja K(
-5;
-4) és átmegy a P(
2;
-1) ponton!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
k = ?
Alapadatok:
u = C1 = -5
v = C2 = -4
P1 = 2
P2 = -1
r² = |KP|² = ² +
²
Keresett mennyiségek:
k = ?
Alapadatok:
u = C1 = -5
v = C2 = -4
P1 = 2
P2 = -1
Képletek:
1. Sugár (távolság) meghatározása:
`r = sqrt((P1-C1)^2+(P2-C2)^2)`
2. Kör egyenlete:
k:`(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 `
1. Sugár (távolság) meghatározása:
`r = sqrt((P1-C1)^2+(P2-C2)^2)`
2. Kör egyenlete:
k:`(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 `
r =
k: (x +)² + (y + )² =
| 5 pont |
699.
Egy kör átmérőjének végpontjai A(
-3;
4) és B(
5;
-2).
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a) k = ?
b) C helyzete = ?
Alapadatok:
A1 = -3
A2 = 4
B1 = 5
B2 = -2
C1 = 5
C2 = 4
Keresett mennyiségek:
a) k = ?
b) C helyzete = ?
Alapadatok:
A1 = -3
A2 = 4
B1 = 5
B2 = -2
C1 = 5
C2 = 4
Képletek:
1. Átmérő (távolság) számítás:
`d = sqrt((A1-B1)^2+(A2-B2)^2)`
d = 2*r
r = ?
2. Körközéppont (felezőpont) számítás:
`u = K1 = (A1+B1)/2`
`v = K2 = (A2+B2)/2`
3. Kör egyenlete:
k:`(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 `
1. Átmérő (távolság) számítás:
`d = sqrt((A1-B1)^2+(A2-B2)^2)`
d = 2*r
r = ?
2. Körközéppont (felezőpont) számítás:
`u = K1 = (A1+B1)/2`
`v = K2 = (A2+B2)/2`
3. Kör egyenlete:
k:`(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 `
a) Írja fel a kör egyenletét!
F = (; )
k: (x +)² + (y + )² =
F = (; )
k: (x +)² + (y + )² =
b) Számolásssal döntse el, hogy a P(
5;
4) pont milyen helyzetű a körhöz képest!
(5 + )² + (4 + )² =
(5 + )² + (4 + )² =
| 4 pont |
700.
Határozza meg a következő egyenlettel megadott kör középpontjának koordinátáit és sugarát!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a) K1(u1;v1)
b) K2(u2;v2)
Alapadatok:
a) k1: `(x-4)^2+(y+2)^2=5`
b) k2: `x^2+y^2-4x+8y-16=0`
Keresett mennyiségek:
a) K1(u1;v1)
b) K2(u2;v2)
Alapadatok:
a) k1: `(x-4)^2+(y+2)^2=5`
b) k2: `x^2+y^2-4x+8y-16=0`
Képletek:
1. Kör hagyományos (zárójeles) egyenle:
`(x-u)^2+(y-v)^2=r^2`
2. Kör nem hagyományos (zárójel nélküli) egyenlete:
`x^2+y^2-2*u*x-2*v*y+u^2+v^2-r^2=0`
1. Kör hagyományos (zárójeles) egyenle:
`(x-u)^2+(y-v)^2=r^2`
2. Kör nem hagyományos (zárójel nélküli) egyenlete:
`x^2+y^2-2*u*x-2*v*y+u^2+v^2-r^2=0`
a) (x
-4)² + (y
+2)² =
5
K1 = (; ) és r1 =
K1 = (; ) és r1 =
b) x² + y²
-4x
+8y
-16 = 0
x² -4x + y² +8y -16 = 0
(x +)² + + (y +)² + +
K2 = (; )
r² =
x² -4x + y² +8y -16 = 0
(x +)² + + (y +)² + +
K2 = (; )
r² =
| 6 pont |
701.
Illeszkedik-e a K(
-3;
2) középpontú
13 egység sugarú körre az A(
5;
4), illetve a B(
9;
-3)pont?
Válaszát számítással igazolja!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
ih1: `(A1-u)^2+(A2-v)^2≟r^2`
ih2: `(B1-u)^2+(B2-v)^2≟r^2`
Alapadatok:
K1 = -3
K2 = 2
r = 13
A1 = 5
A2 = 4
B1 = 9
B2 = -3
`r^2 =` Keresett mennyiségek:
ih1: `(A1-u)^2+(A2-v)^2≟r^2`
ih2: `(B1-u)^2+(B2-v)^2≟r^2`
Alapadatok:
K1 = -3
K2 = 2
r = 13
A1 = 5
A2 = 4
B1 = 9
B2 = -3
Képletek:
1. Kör egyenlete:
`(x-u)^2+(y-v)^2=r^2`
1. Kör egyenlete:
`(x-u)^2+(y-v)^2=r^2`
`(A_1-u)^2+(A_2-v)^2 = ` r²
`(B_1-u)^2+(B_2-v)^2 = ` r²
| 6 pont |
702.
Írja fel annak a körnek az egyenletét,
amely érinti a koordinátatengelyeket és átmegy a (
-8;
1) ponton!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
`k: (x+r)^2+(y-r)^2=r^2`
Alapadatok:
P1 = -8
P2 = 1
A kör középpontja:
a 3. síknegyedben található.
u = -r és v = r.
Vázlat:
Keresett mennyiségek:
`k: (x+r)^2+(y-r)^2=r^2`
Alapadatok:
P1 = -8
P2 = 1
A kör középpontja:
a 3. síknegyedben található.
u = -r és v = r.
Képletek:
1. A sugár értékének meghatározása:
`(-8+r)^2+(1-r)^2=r^2`
`a*r^2+b*r+c = 0` másodfokú egyenletet eredményez.
Megoldóképlet: `r_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2a)`
Az r értéke nem lehet negatív!
1. A sugár értékének meghatározása:
`(-8+r)^2+(1-r)^2=r^2`
`a*r^2+b*r+c = 0` másodfokú egyenletet eredményez.
Megoldóképlet: `r_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2a)`
Az r értéke nem lehet negatív!
(r +)² + (r +)² = r²
r² +r + + r² +r + = r²
r² +r + = 0
a = ; b = ; c =
| `r_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `r_(1,2) =` | ( ± ) |
| `r_1 =` | ( - ) | = |
| `r_2 =` | ( + ) | = |
r2 =
| 7 pont |
703.
Milyen hosszúságú húrt vág ki az
1x
-2y =
-2 egyenletű egyenesből az (x
-5)² + (y
-1)² =
25 egyenletű kör?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
|M1M2| = ?
M1 = ?
M2 = ?
Alapadatok:
e: x -2y =-2 → x = 2y -2
k:`(x -5)^2+(y-1)^2=25`
Vázlat:
Keresett mennyiségek:
|M1M2| = ?
M1 = ?
M2 = ?
Alapadatok:
e: x -2y =-2 → x = 2y -2
k:`(x -5)^2+(y-1)^2=25`
Képletek:
1. Metszépontok meghatározása:
Helyettesítsük be e-t k-ba:
`(2y -2 -5)^2+(y-1)^2 =25`
Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
Határozzuk meg az x értékeit is!
2. Távolság meghatározása:
`d=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)`
1. Metszépontok meghatározása:
Helyettesítsük be e-t k-ba:
`(2y -2 -5)^2+(y-1)^2 =25`
Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
Határozzuk meg az x értékeit is!
2. Távolság meghatározása:
`d=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)`
1. Az egyenes egyenletének átalakítása:
x = 2y -2
2. Visszahelyettesítés a kör egyenletébe:
(2y -2 -5)² +(y -1)² = 25
(2y -7)² +(y -1)² = 25
y² + y + + y² + y + = 25
y² + y + = 0
3. A másodfokú egyenlet megoldása:
a = ; b = ; c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `y_(1,2) =` | ( ± ) |
| `y_1 =` | ( - ) | = |
| `y_2 =` | ( + ) | = |
y1 = ; y2 =
x1 = ; x2 =
5. Távolság meghatározása:
d² = ² + ² =
d =
| 8 pont |
704.
Írja fel az x² +y²
+4x
-8y
-30 = 0 egyenletű kör E(
5;
3)pontjába húzható érintőjének egyenletét!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
e: A*x + B*y = C (érintő)
Alapadatok:
k: `x^2+y^2+4x-8y-30=0`
E (5;3)
Vázlat:
Keresett mennyiségek:
e: A*x + B*y = C (érintő)
Alapadatok:
k: `x^2+y^2+4x-8y-30=0`
E (5;3)
Képletek:
1. Kör alapparamétereinek meghatározása:
K(K1;K2) = ?
r = ?
2. Az egyenes normálvektorának meghatározása:
n (A;B) = KE (K1-E1;K2-E2)
3. Az egyenes normálvektoros egyenletének felírása:
e: A*x + B*y = A*E1 + B*E2
1. Kör alapparamétereinek meghatározása:
K(K1;K2) = ?
r = ?
2. Az egyenes normálvektorának meghatározása:
n (A;B) = KE (K1-E1;K2-E2)
3. Az egyenes normálvektoros egyenletének felírása:
e: A*x + B*y = A*E1 + B*E2
0. x² +b1·x +y² +b2·y +c = 0 alakra hozás:
x² +4x +y² -8y -30 = 0
1. Teljes négyzetté alakítás:
(x + )² + + (y + )² + + = 0
(x + )² + (y + )² =
2. Kör középpontja:
K = (; )
3. Az egyenes normálvektora:
n = `vec(KE) =` (; )
4. Az érintő egyenes egyenlete:
e = ·x + ·y =
| 5 pont |
88. Kör egyenlete
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 697. | ||||
| 698. | ||||
| 699. | ||||
| 700. | ||||
| 701. | ||||
| 702. | ||||
| 703. | ||||
| 704. | ||||
| Ö.: | - | - |
