84. Vegyes trigonometriai feladatok
Segítséget
665.
Egy torony árnyéka a vízszintes talajon
4-szer olyan hosszú, mint a torony magassága.
Hány fokos szöget zár be ekkor a Nap sugara a talajjal?
A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!
Hány fokos szöget zár be ekkor a Nap sugara a talajjal?
A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
α = ?
Alapadatok:
`a/b = 4`
tg α = Keresett mennyiségek:
α = ?
Alapadatok:
`a/b = 4`
Képletek:
1. Szögfüggvény alkalmazás:
`tg alpha = a/b`
1. Szögfüggvény alkalmazás:
`tg alpha = a/b`
α = °
| 4 pont |
666.
Egy téglalap
54mmes átlója
3:
7 arányban osztja a téglalap egyik belső szögét.
Számolja ki a téglalap területét!
Számolja ki a téglalap területét!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
T = ?
Alapadatok:
e = 54mm
`alpha_1 = 3*x`
`alpha_2 = 7*x`
Szögösszetevők: Keresett mennyiségek:
T = ?
Alapadatok:
e = 54mm
`alpha_1 = 3*x`
`alpha_2 = 7*x`
Képletek:
1. Szögek összege:
`alpha_1 + alpha_2 = 90°`
x = ?
`alpha_1 = ?`
`alpha_2 = ?`
2. Oldalak meghatározása szögfüggvényekkel:
`sin alpha_1 = a/e`
a = ?
`cos alpha_1 = b/e`
b = ?
3. Területszámítás:
T = a*b
1. Szögek összege:
`alpha_1 + alpha_2 = 90°`
x = ?
`alpha_1 = ?`
`alpha_2 = ?`
2. Oldalak meghatározása szögfüggvényekkel:
`sin alpha_1 = a/e`
a = ?
`cos alpha_1 = b/e`
b = ?
3. Területszámítás:
T = a*b
`alpha_1 = `°
`alpha_2 = `°
Oldalak:
a = mm
b = mm
Terület:
T = mm²
| 5 pont |
667.
A tornaterem épületének alját a szomszédos épület
3m magas első emeleti ablakából
2,8°-os depressziószög alatt, a tornaterem épületének
legmagasabb pontját
4,7°os emelkedési szögben látjuk ugyanebből az ablakból.
Milyen magas a tornaterem épülete?
Milyen magas a tornaterem épülete?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
`m_t = ?`
Alapadatok:
`m_(sz) = 3m`
`alpha_(l e) = 2,8°`
`alpha_(fel) = 4,7°`
m1 = 3m Keresett mennyiségek:
`m_t = ?`
Alapadatok:
`m_(sz) = 3m`
`alpha_(l e) = 2,8°`
`alpha_(fel) = 4,7°`
Képletek:
1. Alsó derékszögű háromszög esetén:
`tg alpha_(l e) = m_(sz)/d`
d = ?
2. Felső derékszögű háromszög esetén:
`tg alpha_(fe l) = m_f/d` 3. Magasság számítás:
`m_t = m_(sz)+m_f`
1. Alsó derékszögű háromszög esetén:
`tg alpha_(l e) = m_(sz)/d`
d = ?
2. Felső derékszögű háromszög esetén:
`tg alpha_(fe l) = m_f/d` 3. Magasság számítás:
`m_t = m_(sz)+m_f`
d = (tornaterem-szomszéd épület) = m
m2 = m
m = m1 + m2 = m
| 6 pont |
668.
Egy hegy nyugati lejtője
3km hosszú és
25°-os szöget zár be a vízszintessel.
A keleti lejtő 5km hosszú.
Milyen magas a hegy és mekkora szöget zár be a keleti lejtő a vízszintessel?
A keleti lejtő 5km hosszú.
Milyen magas a hegy és mekkora szöget zár be a keleti lejtő a vízszintessel?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
m = ?
β = ?
Alapadatok:
`l_(ny) = 3km`
`alpha_(ny)=25°`
`l_k = 5km`
m = kmKeresett mennyiségek:
m = ?
β = ?
Alapadatok:
`l_(ny) = 3km`
`alpha_(ny)=25°`
`l_k = 5km`
Képletek:
1. Nyugati lejtő:
`sin alpha_(ny) = m/l_(ny)`
m = ?
2. Keleti lejtő:
`sin alpha_(k) = m/l_k`
1. Nyugati lejtő:
`sin alpha_(ny) = m/l_(ny)`
m = ?
2. Keleti lejtő:
`sin alpha_(k) = m/l_k`
`alpha_k = `°
| 4 pont |
669.
Mekkora a
8cm sugarú körbe írt szabályos
6-szög és a
6cm sugarú kör köré írt szabályos
8-szög oldalának aránya?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
`(a_6)/(a_8) = ?`
Alapadatok:
R = 8cm
nb = 6
r = 6cm
nk = 8
Derékszögű háromszögekre bontás után: Keresett mennyiségek:
`(a_6)/(a_8) = ?`
Alapadatok:
R = 8cm
nb = 6
r = 6cm
nk = 8
Képletek:
1. Felbontás derékszögű háromszögekre:
`alpha = (360°)/(2*n)`
α = ?
2. Szögfüggvények alkalmazása:
`sin alpha = (a/2)/R`
`tg alpha = (a/2)/r`
1. Felbontás derékszögű háromszögekre:
`alpha = (360°)/(2*n)`
α = ?
2. Szögfüggvények alkalmazása:
`sin alpha = (a/2)/R`
`tg alpha = (a/2)/r`
Szögek:
`alpha_6 = `°
`alpha_8 = `°
Oldalak:
`a_6 = `cm
`a_8 = `cm
Arány:
`(a_6)/(a_8) = `
| 5 pont |
670.
Egy paralelogramma alakú kert egyik oldalán végig kerítés húzódik, amelynek hossza
28méter.
Egyenes gyalogutat építenek a kertben a paralelogramma egyik átlója mentén,
ennek a gyalogútnak a hossza
57 méter.
A kerítés és a gyalogút szögét
24°-osnak mérték meg.
Számolja ki a kert másik oldalának hosszát!
Számolja ki a kert másik oldalának hosszát!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
b = ?
Alapadatok:
a = 28m
e = 57m
α = 24°
b = mKeresett mennyiségek:
b = ?
Alapadatok:
a = 28m
e = 57m
α = 24°
Képletek:
1. Koszinusz-tétel:
`b^2=a^2+e^2-2*a*e*cos alpha`
1. Koszinusz-tétel:
`b^2=a^2+e^2-2*a*e*cos alpha`
| 2 pont |
671.
Az iskolai könyvtár az iskola tetőterében található.
Talajra merőleges síkmetszete olyan trapéz, amelynek szöge 53,4° és 69,38°, rövidebb alapja 8m.
A 69,38°-os szög melletti szár 10m hosszú.
Mekkorák a trapéz oldalai?
Talajra merőleges síkmetszete olyan trapéz, amelynek szöge 53,4° és 69,38°, rövidebb alapja 8m.
A 69,38°-os szög melletti szár 10m hosszú.
Mekkorák a trapéz oldalai?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a = ?
d = ?
Alapadatok:
α = 53,4°
β = 69,38°
c = 8m
b = 10m
Keresett mennyiségek:
a = ?
d = ?
Alapadatok:
α = 53,4°
β = 69,38°
c = 8m
b = 10m
Képletek:
1. A d szár párhuzamos eltolása:
A keletkező háromszög oldala = b
Rajta fekvő két szög:
α; β és γ = 180° - (α + β)
γ = ?
2. Háromszög oldalszámítás:
d = a -c
Szinusz-tételek:
`b =(a*sin beta)/(sin alpha)`
`d = (a*sin gamma)/(sin alpha)`
1. A d szár párhuzamos eltolása:
A keletkező háromszög oldala = b
Rajta fekvő két szög:
α; β és γ = 180° - (α + β)
γ = ?
2. Háromszög oldalszámítás:
d = a -c
Szinusz-tételek:
`b =(a*sin beta)/(sin alpha)`
`d = (a*sin gamma)/(sin alpha)`
γ = °
b = m
d = m
a = m
| 8 pont |
672.
A turistatérképen egy folyó A pontjából egyenes út vezet fel egy dombon lévő kilátóhoz,
onnan ehhez az úthoz
48°os szöggel eltérő irányban indul vissza
egy szintén egyenes út a folyó B pontjához.
Az A pontból a turistajelzés szerint a kilátó alja
25°-os emelekedésű szögű út vezet.
Az A és B között a folyó egyenesen halad, és az esése elhanyagolható.
Egy túrázó csapat pár tagja az A pontból felmegy a kilátóhoz, a többiek már fáradtak, ezért a folyó mentén sétálnak tovább a B ponthoz, ahol bevárják a többieket. Gabi úgy dönt, hogy felmegy a kilátóhoz a többiekkel.
Beállítja telefonján a lépészámláló funkciót: tudja, hogy emelkedőn a lépéshossza átlagosan 49cm, lejtőn pedig 54cm.
Gabi az A pontból a kilátóig 2081 lépést, a kilátótól a B pontig 1655 lépést tett meg.
Mekkora utat tesznek meg a sétálók (és mekkorát a hegymászók) az A és B pont között?
Az A és B között a folyó egyenesen halad, és az esése elhanyagolható.
Egy túrázó csapat pár tagja az A pontból felmegy a kilátóhoz, a többiek már fáradtak, ezért a folyó mentén sétálnak tovább a B ponthoz, ahol bevárják a többieket. Gabi úgy dönt, hogy felmegy a kilátóhoz a többiekkel.
Beállítja telefonján a lépészámláló funkciót: tudja, hogy emelkedőn a lépéshossza átlagosan 49cm, lejtőn pedig 54cm.
Gabi az A pontból a kilátóig 2081 lépést, a kilátótól a B pontig 1655 lépést tett meg.
Mekkora utat tesznek meg a sétálók (és mekkorát a hegymászók) az A és B pont között?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
ss = ?
sh = ?
Alapadatok:
α = CAD ∢ = 25°
β = ACB ∢ = 48°
lhfel = 49cm = 0,49m
lhle = 54cm = 0,54m
AB = x
AC = a
BC = b
AD = c
BD = d
CD = m
cl = 2081
dl = 1655
c = kmKeresett mennyiségek:
ss = ?
sh = ?
Alapadatok:
α = CAD ∢ = 25°
β = ACB ∢ = 48°
lhfel = 49cm = 0,49m
lhle = 54cm = 0,54m
AB = x
AC = a
BC = b
AD = c
BD = d
CD = m
cl = 2081
dl = 1655
Képletek:
1. c és d meghatározása:
c = cl*lhfel
d = dl*lhle
2. sh meghatározása:
sh = c + d
3. Szögfüggvények alkalmazása:
`sin alpha = m/c`
m = ?
`cos alpha = a/c`
a = ?
4. Pitagorasz-tétel:
`b^2+m^2=d^2`
b = ?
5. Koszinusz-tétel:
`x^2 = a^2 + b^2 -2*a*b*cos beta`
ss = x
1. c és d meghatározása:
c = cl*lhfel
d = dl*lhle
2. sh meghatározása:
sh = c + d
3. Szögfüggvények alkalmazása:
`sin alpha = m/c`
m = ?
`cos alpha = a/c`
a = ?
4. Pitagorasz-tétel:
`b^2+m^2=d^2`
b = ?
5. Koszinusz-tétel:
`x^2 = a^2 + b^2 -2*a*b*cos beta`
ss = x
d = km
sh = km
m = km
a = km
b = km
ss = km
| 7 pont |
84. Vegyes trigonometriai feladatok
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 665. | ||||
| 666. | ||||
| 667. | ||||
| 668. | ||||
| 669. | ||||
| 670. | ||||
| 671. | ||||
| 672. | ||||
| Összesen: | - | - |
