78. Vektorok koordinátákkal

78. Vektorok koordinátákkal

Segítséget mutat nem mutat

617. Adottak az a( 4; 3) és a b( -2; 1) vektorok.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a) |a| = ?
 b) a + b = ?
Alapadatok:
 a = (4; 3) = (a1;a2)
 b = (-2; 1) = (b1;b2)

Képletek:
a) Helyvektor hossza:
Pitagorasz-tétellel határozzuk meg!
 `|a| = sqrt(a1^2+a2^2)`
b) Két vektor összege:
Koordinátánként összegzünk!
 a + b = (a1+b1; a2+b2)

a) Adja meg az a vektor hosszát!
|a| =

b) Számítsa ki az a+b vektor koordinátáit!
a + b = (; )

4 pont

618. Adottak az a( 5; 7) és a c( -4; 9) vektorok, ahol c = a - b.
Adja meg a b vektort koordinátáival!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 b = ?
Alapadatok:
 a = (5; 7) = (a1;a2)
 c = (-4; 9) = (b1;b2)
 c = a - b

Képletek:
1. b = a - c

b = (; )

2 pont

619. Az a és b vektorok vektoregyenleteikkel adottak: a = 2i -3j és b = -1i + 4j.
Fejezze ki i és j vektorok segítségével a c = 4a - b vektort!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 c = ?
Alapadatok:
 a = (2;-3)
 b = (-1;4)

Képletek:
1. c = 4a - b
c = (4a1 - b1;4a2 - b2) = (c1;c2) = c1*i + c2*j

c = ·i + ·j

2 pont

620. Mekkora az a( -2; 5) és a b( -3; -1) vektorok skaláris szorzata?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a·b = ?
Alapadatok:
 a = (-2; 5) = (a1;a2)
 b = (-3; -1) = (b1;b2)

Képletek:
1. Skaláris szorzat = szorzatösszeg
 a·b = a1·b1 + a2·b2

a·b =

2 pont

621. Határozza meg az a( 5; 8) és b( -40; 25) vektorok szögét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 gamma; = ?
Alapadatok:
 a( 5; 8)
 b( -40; 25)

Képletek:
1. Hosszak meghatározása:
Pitagorasz-tételek:
 `|a| = sqrt(a1^2+a2^2) = ?`
 `|b| = sqrt(b1^2+b2^2) = ?`
2. Skaláris szorzat = szorzatösszeg
 a·b = a1·b1 + a2·b2
2. Skaláris szorzat = hossz·hossz·közbezárt-szög-koszinusza
 a·b = |a|·|b|·cos γ
 `[gamma=cos^(-1)(a*b/(|a|*|b|))]`

|a| =
|b| =
a·b =
γ = °

4 pont

622. Adott az a( -2; 4) vektor. A b vektor első koordinátája 3-mal több, mint a második koordinátája.
Mekkorának válasszuk meg a b vektor koordinátáit, ha tudjuk, hogy az a és b vektorok merőlegesek egymásra?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 b = ?
Alapadatok:
 a = (-2; 4) = (a1;a2)
 b = (x+3;x)
 α = 90°

Képletek:
a*b = 0

Legyen a b vektor koordinátái: (x +3, x)
Tudjuk, hogy
a·b = a₁·b₁ + a₂·b₂ = 0
(x+3) + x = 0
x + = 0
x =
b = (; )

5 pont

623. Az a( -2; 7) vektor +90°-os elforgatottja a c vektor, a -90°-os elforgatottja a d vektor.
Adja meg a c és a d vektorok koordinátáit!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 apf = ?
 amf = ? Alapadatok:
 a = (-2; 7) = (a1;a2)
 αpf = +90°
 αmf = -90°

Képletek:
1. Forgatás 90°-kal:
 apf = (a2; -1*a1)
 amf = (-1*a2; a1)

c = (; )
d = (; )

4 pont

624. Adottak az a( 5; -3) és b( -2; 4) vektorok.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a) c = ?, d = ?
 b) c*d = ?
 c) α = ?
Alapadatok:
 a = (5; -3) = (a1;a2)
 b = (-2; 4) = (b1;b2)
 c = 2a -3b
  d = 3a +4b

Képletek:
a) c = (2*a1 -3*b1;2*a2 -3*b2)
 d = (3*a1 +4*b1;3*a2 +4*b2)
b) Skaláris szorzat = szorzatösszeg!
 c*d = c1*d1 + c2*d2
c) Skaláris szorzat = hossz*hossz*közbezárt-szög-koszinusza
 c*d = |c|*|d|*cos α
 `|c| = sqrt(c1^2+c2^2) = ?`
 `|d| = sqrt(d1^2+d2^2) = ?`

a) Számolja ki a c = 2a -3b és a d = 3a + 4b vektorok koordinátáit!
c = (; )
d = (; )

b) Határozza meg a c és a d vektorok skaláris szorzatát!
c·d =

c) Mekkora szöget zár be a c és d vektor egymással?
|c| =
|d| =
α = °

6 pont

78. Vektorok koordinátákkal

NÉV:
JEGY: IDŐ:

Ssz.	Max pont	Pont	Paraméter	Be
617.
618.
619.
620.
621.
622.
623.
624.
Ö.:			-	-