Matek100lepes: 91. Kerület, terület 2.

2021. szeptember 18., szombat

91. Kerület, terület 2.

Segítséget

1. Szabályos sokszögek

721. Határozza meg a 120cm kerületű szabályos 15-szög területét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:

Alapadatok:
K = 120cm
n = 15

Képletek:
1. Kerület:
K = n*a
a = ? `[a = K/n]`
2. Területszámítás:
Osszuk fel a sokszöget a szimmetriaközéppontból derékszögű háromszögekre!
`alpha = (360°)/(2*n)`
`alpha = ?`
`tg alpha = (a/2)/m`
m = ? `[m = (a/2)/(tg alpha)]`
`T_(hsz) = ((a/2)*m)/2`
`T_(hsz) = ?`
`T = 2*n*T_(hsz)`

a = cm
alfa = °
m = cm
`T_(hsz) = `cm²
T = cm²

5 pont

722. Mekkora a 10cm sugarú kör köré írt szabályos 8-szög területe?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
T = ?
Alapadatok:
m = r = 10cm
n = 8

Képletek:
1. Terület számítás:
`alpha = (360°)/(2*n)`
`alpha = ?`
`tg alpha = (a/2)/m`
a = ? `[a = 2*m*tg alpha`]
`T_(hsz) = ((a/2)*m)/2`
`T_(hsz) = ?`
`T = 2*n*T_(hsz)`

`alpha = `°
a = cm
`T_(hsz) = `cm²
T = cm²

4 pont

723. Egy szabályos 6-szög területe 96·`sqrt(3)`cm².
Számolja ki a hatszög oldalának hosszát!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a = ?
Alapadatok:
n = 6
`T = 96*sqrt(3) cm^2`

Képletek:
1. Területszámítás:
Bontsuk a hatszöget 6db szabályos háromszögre!
`T_(hsz)=(a^2*sqrt(3))/4`
`T = 6*T_(hsz)`
`[a = sqrt(T_(hsz)/(1,5*sqrt(3)))]`

a = cm

2 pont

2. A kör és részei

724. Mekkora annak a kör alakú játszótérnek a sugara méterben mérve, amely területének mérőszáma 5-szöröse a kerület mérőszámának?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
r = ?
Alapadatok:
`T/K = 5`

Képletek:
1. Terület, kerület arány:
`T = r^2*pi`
`ul(K = 2*r*pi)`
`T/K=r/2` `[r=2*(T/K)]`

r = cm

2 pont

725. Számolja ki a 12cm sugarú körben a 75°-os középponti szöghöz tartozó körcikk területét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
`T_(kc) = ?`
Alapadatok:
`alpha = 75°`
r = 12cm

Képletek:
1. Területszámítás:
`T_(kc) = (alpha/360)*r^2*pi`

`T_(kc) = `cm²

2 pont

726. Egy körben a 144°-os középponti szögű körcikkhez tartozó ív hossza 4π egység.
Számolja ki a körcikk területét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
`T_(kc)=?`
Alapadatok:
`alpha = 144°`
`i = 4*pi`

Képletek:
1. Ív hossza:
`i = (alpha/360)*2*r*pi`
r = ? `[r=(i*360)/(alpha*2*pi)]`
2. Területszámítás:
`T_(kc) = (alpha/360)*r^2*pi = (i*r)/2`

r = cm
`T_(kc) = `cm²

4 pont

727. Egy körcikk területe 16cm², a körcikket határoló ív hossza 5cm.
Számolja ki a kör sugarát, valamint a körcikk középponti szögét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
r = ?
`alpha = ?`
Alapadatok:
T = 16cm²
i = 5cm

Képletek:
1. Terület és az ív aránya:
`T = (alpha/360)*r^2*pi`
`i = (alpha/360)*2*r*pi`
`T/i = r/2`
r = ? `[r=(2*T)/i]`
α = ? `[alpha = (T*360)/(r^2*pi)]`

r = cm
α = °

4 pont

728. Mekkora területű részekre (körszeletekre) osztja a 85cm sugarú kört egy 72cm hosszú húrja?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
`T_(ksz1)=?`
`T_(ksz2)=?`
Alapadatok:
h = 72cm
r = 85cm

Képletek:
1. Pitagorasz-tétel:
`x^2 +(h/2)^2 = r^2`
x = ? `[x=sqrt(r^2-(h/2)^2)]`
2. Szögfüggvények:
`sin alpha' = (h/2)/r`
`alpha' = ?` `[alpha'=sin^(-1)(h/(2*r))]`
3. Középponti szög:
`alpha = 2*alpha'`
`alpha = ?`
4. Területszámítás:
`T_(kc) = (alpha/360)*r^2*pi`
`T_(hsz) = (x*(h/2))/2`
`T_(ksz1) = T_(kc) - 2*T_(hsz)`

`T_k = r^2*pi`
`T_(ksz2) = T_k - T_(ksz1)`

x = cm
`alpha = `°
`T_(kc) = `cm²
`T_(hsz) = `cm²
`T_(ksz1) = `cm²
`T_k = `cm²
`T_(ksz2) = `cm²

7 pont

91. Kerület, terület 2.

NÉV:
JEGY: IDŐ:

Ssz.	Max pont	Pont	Paraméter	Be
721.
722.
723.
724.
725.
726.
727.
728.
Ö.:			-	-