82. Trigonometrikus egyenletek

82. Trigonometrikus egyenletek

Segítséget mutat nem mutat

Adatbeviteli szabályok:
 4π/3 = 4pi/3
 nincs megoldás = -
 elválasztójel = , vagy ;
 felsorolásnál = szóköz, sorrend nem számít!

1. Elsőfokú egyenletek

649. Oldja meg a valós számok halmazán a sin(x) = 1/2 egyenletet!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 `x_1 = alpha_1+k*2*pi,k in Z`
 `x_2 =alpha_2+k*2*pi,k in Z`
Alapadatok:
 szinuszos egyenlet

Képletek:
1. `alpha_1` értékének meghatározása számológéppel
 `alpha_1 = sin^(-1)(1/2)`
2. `alpha_2` értékének meghatározása képlettel
 `alpha_2 = 180°-alpha_1`
3. Átváltás radiánba:
 180° = π

sin(x) = | sin^-1
x₁ = ° + k·360°, k ∈ Z
x₂ = ° +k·360°

x₁ = + k·2π, k ∈ Z
x₂ = + k·2π

4 pont

650. Oldja meg a `[-2pi;2pi]` intervallumon a cos(x) -1 = 0 egyenletet!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 `x_1 = ?,x_2 = ?,x_3 = ?`
Alapadatok:
 `x in [-2pi;2pi]`

Képletek:
1. `alpha_1` értékének meghatározása számológéppel
 `alpha_1 = cos^(-1)(1)`
2. `alpha_2` értékének meghatározása képlettel
 `alpha_2 = 360°-alpha_1`
3. Átváltás radiánba:
 180° = π

cos(x) = |cos^-1
x = ±° +k·360° , k ∈ Z
Megoldások(FOKBAN) =
Megoldások(radiánban) =

3 pont

651. Oldja meg a `[0;2pi]` intervallumon a tg²x = 3 egyenletet!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 `x_1 = ?,x_2 = ?,x_3 = ?`
Alapadatok:
 `x in [0;2pi]`

Képletek:
1. A gyökvonásnál a pozitív és a negatív gyököt is figyelembe kell venni!
2. Az `alpha_1` meghatározása számológéppel:
 `alpha_1 = tan^(-1)(sqrt(3))`
3. Átváltás radiánba:
 180° = π

1. eset:
tg(x) = |tan^-1
x₁ = ° + k·180°
2. eset:
tg(x) = - |tan^-1
x₂ = ° + k·180°

Megoldások(FOKBAN) =
Megoldások(radiánban) =

6 pont

652. Határozza meg a következő egyenlet valós megoldásait!
  cos(x +π/3) = -√(2)/2

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 `x_1 = alpha_1 + k*2*pi, k in Z`
 `x_2 = alpha_2 + k*2*pi`
Alapadatok:
Kétlépéses folyamat!
 cos x' = `-sqrt(2)/2`
 `x' = x + pi/3`

Képletek:
1. `alpha_1` meghatározása két lépésben
2. `alpha_2` meghatározása két lépésben

cos(x +°) = |cos^-1
1. eset:
x₁ + °= ° +k·360°
x₁ = ° +k·360°
x₁ = +k·2π

2. eset:
x₂ + °= (-°+360°) +k·360°
x₂ = ° +k·360°
x₂ = +k·2π

5 pont

2. Másodfokú egyenletek

653. Adja meg a `[-pi;pi]` intervallumba eső szögeket, amelyekre
 2·sin²x +1·sinx -1 = 0!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Egyik ág:
Nincs megoldás, vagy
 `x_1 = alpha_1 + k*2*pi, k in Z`
 `x_2 = (pi - alpha_1) + k*2*pi, k in Z`
Másik ág:
Nincs megoldás, vagy
 `x_3 = alpha_2 + k*2*pi, k in Z`
 `x_4 = (pi - alpha_2) + k*2*pi, k in Z`
és `x_1,x_2,x_3,x_4 in [-pi;pi]`
Alapadatok:
 2*sin²x + sinx -1 = 0

Képletek:
1. Vezessünk be új ismeretlent!
 y = sinx és y² = sin²x
2. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet:
 `y_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
3. Oldjuk meg a szinuszos elsőfokú egyenleteket!
 sin x = y1 és sin x = y2

sinx = y
 2·y² +1·y -1 = 0
a =   b =   c =
y_1,2 = -b ± √(b²-4ac)/2a
y_1,2 = ( ± √ + ) / =
y_1,2 = ( ± ) / =
y1 =
y2 =

1. eset:
x1 = °+k360°
x2 = °+k360°
2. eset:
x3 = °+k360°
x4 = °+k360°

Megoldások (FOKBAN) =
Megoldások (radiánban) =

8 pont

654. Adja meg a `[0;2pi]` intervallumba eső szögeket, amelyekre
 4·cos²x = 4·cosx + 3!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Egyik ág:
Nincs megoldás, vagy
 `x_1 = alpha_1 + k*2*pi, k in Z`
 `x_2 = (2*pi - alpha_1) + k*2*pi, k in Z`
Másik ág:
Nincs megoldás, vagy
 `x_3 = alpha_2 + k*2*pi, k in Z`
 `x_4 = (2*pi - alpha_2) + k*2*pi, k in Z`
és `x_1,x_2,x_3,x_4 in [0;2*pi]`
Alapadatok:
 4*cos²x = 4*cosx +3
Nullára redukálás szükséges!

Képletek:
1. Vezessünk be új ismeretlent!
 y = cosx és y² = cos²x
2. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet:
 `y_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
3. Oldjuk meg a szinuszos elsőfokú egyenleteket!
 cos x = y1 és cos x = y2

cosx = y
 4·y² - 4·y - 3 = 0
a =   b =   c =
y_1,2 = -b ± √(b²-4ac)/2a
y_1,2 = ( ± √ + ) / =
y_1,2 = ( ± ) /
y1 =
y2 =

1. eset:
x1 = °+k360°
x2 = °+k360°
2. eset:
x3 = °+k360°
x4 = °+k360°

Megoldások (FOKBAN) =
Megoldások (radiánban) =

8 pont

3. Trigonometrikus Pitagorasz-tétel alkalmazása

655. Egy háromszög x szögére igaz, hogy
 1·cos²x = 1 -1/2·sinx.
Mekkora lehet ez az x szög?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 0° < x < 180°

Képletek:
1. Trigonometrikus Pitagorasz-tétel:
 cos²x = 1 - sin²x
2. Nullára redukálás!
 a*sin²x + b*sinx + c = 0
3. Vezessünk be új ismeretlent!
 y = sinx és y² = sin²x
4. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet:
 `y_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
5. Oldjuk meg a szinuszos elsőfokú egyenleteket!
 sin x = y1 és sin x = y2

 2·cos²x = 2 -1·sinx.
 2·(1 -sin²x) = 2 -1·sinx.
y = sinx
y² + y + = 0
y_1,2 = -b ± √(b²-4ac)/2a
y_1,2 = ( ± √ + ) / =
y_1,2 = ( ± ) /
y1 =
y2 =

1. eset:
x1 = °+k360°
x2 = °+k360°
2. eset:
x3 = °+k360°
x4 = °+k360°

Megoldások (FOKBAN) =

7 pont

656. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
 5cos²x +7·cosx = 7 -3·sin²x

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x1,x2,x3,x4 = ?
Alapadatok:
 5cos²x +7cosx = 7 -3sin²x

Képletek:
1. Trigonometrikus Pitagorasz-tétel:
 sin²x = 1 - cos²x
2. Nullára redukálás!
 a*cos²x + b*cosx + c = 0
3. Vezessünk be új ismeretlent!
 y = cosx és y² = cos²x
4. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet:
 `y_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
5. Oldjuk meg a szinuszos elsőfokú egyenleteket!
 cos x = y1 és cos x = y2

 5cos²x +7·cosx = 7 -3·(1-cos²x)
cosx = y
y² + y + = 0
y_1,2 = -b ± √(b²-4ac)/2a
y_1,2 = ( ± √ + ) / =
y_1,2 = ( ± ) /
y1 =
y2 =

1. eset:
x1 = °+k360°
x2 = °+k360°
radiánban:
x1 = +k2π
x2 = +k2π
2. eset:
x3 = °+k360°
x4 = °+k360°
radiánban:
x3 = °+k2π
x4 = °+k2π

10 pont

82. Trigonometrikus egyenletek

NÉV:
JEGY: IDŐ:

Ssz.	Max pont	Pont	Paraméter	Be
649.
650.
651.
652.
653.
654.
655.
656.
Ö.:			-	-