26. Másodfokú egyenletek
Segítséget1. Megoldóképlet
201.
Melyek azok a valós számok, amelyre igaz, hogy
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
x1 = ?
x2 = ?
Alapadatok:
Másodfokú egyenletek
Keresett mennyiségek:
x1 = ?
x2 = ?
Alapadatok:
Másodfokú egyenletek
Képletek:
1. Megoldóképlet:
Ha `a*x^2+b*x+c=0`, akkor `x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
(Nullára redukálás szükséges lehet!)
(Ha nem írjuk ki az együtthatót, akkor az értéke 1)
(Hiányos egyenlet esetén az együttható értéke 0)
(Ügyeljünk az előjelekre!)
1. Megoldóképlet:
Ha `a*x^2+b*x+c=0`, akkor `x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
(Nullára redukálás szükséges lehet!)
(Ha nem írjuk ki az együtthatót, akkor az értéke 1)
(Hiányos egyenlet esetén az együttható értéke 0)
(Ügyeljünk az előjelekre!)
a) x² = 16
x² - 16 =0
a = , b = , c =
x² - 16 =0
a = , b = , c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `x_(1,2) =` | ( ± ) |
| `x_1 =` | ( - ) | = |
| `x_2 =` | ( + ) | = |
b) x² -36 =0
a = , b = , c =
a = , b = , c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `x_(1,2) =` | ( ± ) |
| `x_1 =` | ( - ) | = |
| `x_2 =` | ( + ) | = |
c) x² -5x +6 =0
a = , b = , c =
a = , b = , c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `x_(1,2) =` | ( ± ) |
| `x_1 =` | ( - ) | = |
| `x_2 =` | ( + ) | = |
d) -3x² -4x +4 =0
a = , b = , c =
a = , b = , c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `x_(1,2) =` | ( ± ) |
| `x_1 =` | ( - ) | = | |
| `x_2 =` | ( + ) | = |
| 8 pont |
202.
Oldja meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
x1 = ?
x2 = ?
Alapadatok:
Másodfokú egyenletek
Keresett mennyiségek:
x1 = ?
x2 = ?
Alapadatok:
Másodfokú egyenletek
Képletek:
1. Zárójelfelbontás
(a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Összevonás, egy oldalra rendezés
3. Megoldóképlet alkalmazás
1. Zárójelfelbontás
(a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Összevonás, egy oldalra rendezés
3. Megoldóképlet alkalmazás
a) (x +3)² +11 = 4(x +5)
(x +3)² +11 = 4(x +5) |1. Zárójelfelbontás
x² +x + = x + |2. Összevonás, egy oldalra rendezés
x² + x + = 0 |3. Megoldóképlet alkalmazás
a = , b = , c =
(x +3)² +11 = 4(x +5) |1. Zárójelfelbontás
x² +x + = x + |2. Összevonás, egy oldalra rendezés
x² + x + = 0 |3. Megoldóképlet alkalmazás
a = , b = , c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `x_(1,2) =` | ( ± ) |
| `x_1 =` | ( - ) | = |
| `x_2 =` | ( + ) | = |
b) (x +2)(x -3) -2(x +4) +10 = 0
(x +2)(x -3) -2(x +4) +10 = 0 |1. Zárójelfelbontás
x² +x + + x + +10 = 0 |2. Összevonás, egy oldalra rendezés
x² + x + = 0 |3. Megoldóképlet alkalmazás
a = , b = , c =
(x +2)(x -3) -2(x +4) +10 = 0 |1. Zárójelfelbontás
x² +x + + x + +10 = 0 |2. Összevonás, egy oldalra rendezés
x² + x + = 0 |3. Megoldóképlet alkalmazás
a = , b = , c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `x_(1,2) =` | ( ± ) |
| `x_1 =` | ( - ) | = |
| `x_2 =` | ( + ) | = |
| 8 pont |
2. Diszkrimináns
203.
Határozza meg a következő másodfokú egyenletek diszkriminánsát!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
D = ?
Alapadatok:
másodfokú egyenletek
Keresett mennyiségek:
D = ?
Alapadatok:
másodfokú egyenletek
Képletek:
1. Diszkrimináns: gyök alatti mennyiség
`D = b^2 -4*a*c`
Paraméteres esetben számok helyett betűk szerepelnek
1. Diszkrimináns: gyök alatti mennyiség
`D = b^2 -4*a*c`
Paraméteres esetben számok helyett betűk szerepelnek
a) 2x² -3x -8 =0
a = b = c =
D = + =
a = b = c =
D = + =
b) cx² -2dx +e =0
a = b = c =
D = + =
a = b = c =
D = + =
c) (p +1)x² -px +p-2 =0
a = b = c =
D = + =
a = b = c =
D = + =
| 6 pont |
204.
Az egyenletek megoldása nélkül (diszkrimináns segítségével) döntse el,
hány megoldása van a valós számok halmazán a következő másodfokú egyenleteknek!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
megoldásszám = ?
Alapadatok:
másodfokú egyenletek
Keresett mennyiségek:
megoldásszám = ?
Alapadatok:
másodfokú egyenletek
Képletek:
1. `D = b^2 -4*a*c`
2. Megoldásszám =
ha D > 0: két valós megoldás.
ha D = 0: egy valós megoldás.
ha D < 0: nulla valós megoldás.
1. `D = b^2 -4*a*c`
2. Megoldásszám =
ha D > 0: két valós megoldás.
ha D = 0: egy valós megoldás.
ha D < 0: nulla valós megoldás.
a) 3x² -4x + 5 = 0
a = b = c =
D = megoldásszám =
a = b = c =
D = megoldásszám =
b) 3x² -4x - 5 = 0
a = b = c =
D = megoldásszám =
a = b = c =
D = megoldásszám =
c) 3x² -6x +3 = 0
a = b = c =
D = megoldásszám =
a = b = c =
D = megoldásszám =
| 6 pont |
26. Másodfokú egyenletek A.
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Aktuális pont | Paraméter |
| 201. | |||
| 202. | |||
| 203. | |||
| 204. | |||
| Összesen: | - |
3. Viete-formulák, gyöktényezős alak
205.
Mekkora a következő egyenletekben a gyökök összege, illetve szorzat?
Válaszát indokolja!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
x1 + x2 = ?
x1*x2 = ?
Alapadatok:
Keresett mennyiségek:
x1 + x2 = ?
x1*x2 = ?
Alapadatok:
Képletek:
1. Viete-formulák:
x1 + x2 = -b/a
x1*x2 = c/a
Nullára redukálás!!
1. Viete-formulák:
x1 + x2 = -b/a
x1*x2 = c/a
Nullára redukálás!!
a) x² +8x +12 = 0
a = b = c =
`x_1 +x_2 = `
`x_1*x_2 = `
a = b = c =
`x_1 +x_2 = `
`x_1*x_2 = `
b) 3x +4 = x²
a = b = c =
`x_1 +x_2 = `
`x_1*x_2 = `
a = b = c =
`x_1 +x_2 = `
`x_1*x_2 = `
c) 2x² -x = 3
a = b = c =
`x_1 +x_2 = `
`x_1*x_2 = `
a = b = c =
`x_1 +x_2 = `
`x_1*x_2 = `
| 6 pont |
206.
Alakítsa szorzattá a következő kifejezéseket!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
szorzat alak
Alapadatok:
másodfokú kifejezések
Keresett mennyiségek:
szorzat alak
Alapadatok:
másodfokú kifejezések
Képletek:
1. Szorzattá alakítás:
a*x²+b*x+c = a*(x-x1)*(x-x2)
1. Szorzattá alakítás:
a*x²+b*x+c = a*(x-x1)*(x-x2)
a) x² -3x +2
a = , b = , c =
szorzat alak = ·
(x +)·
(x +)
a = , b = , c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `x_(1,2) =` | ( ± ) |
| `x_1 =` | ( - ) | = |
| `x_2 =` | ( + ) | = |
b) x² +8x +15
a = , b = , c =
szorzat alak = ·
(x +)·
(x +)
a = , b = , c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `x_(1,2) =` | ( ± ) |
| `x_1 =` | ( - ) | = |
| `x_2 =` | ( + ) | = |
c) 2x² +4x -48
a = , b = , c =
szorzat alak = ·
(x +)·
(x +)
a = , b = , c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `x_(1,2) =` | ( ± ) |
| `x_1 =` | ( - ) | = |
| `x_2 =` | ( + ) | = |
| 6 pont |
207.
Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Másodfokú egyenlet
Alapadatok:
Egyenlet gyökei
Keresett mennyiségek:
Másodfokú egyenlet
Alapadatok:
Egyenlet gyökei
Képletek:
1. Ha adott x1 és x2, akkor a másodfokú egyenlet:
x² - (x1+x2)x + (x1*x2) = 0.
(törtek esetén érdemes közös nevezőre hozni: x1 = y1/a, x2 = y2/a:
a²x² - (y1+y2)ax + (y1*y2) = 0.
2. Egy gyök esetén: x1 = x2
1. Ha adott x1 és x2, akkor a másodfokú egyenlet:
x² - (x1+x2)x + (x1*x2) = 0.
(törtek esetén érdemes közös nevezőre hozni: x1 = y1/a, x2 = y2/a:
a²x² - (y1+y2)ax + (y1*y2) = 0.
2. Egy gyök esetén: x1 = x2
a) gyökei 2 és -4
A másodfokú egyenlet:
(x + )· (x + ) = 0
x² + x + x + = 0
x² +x + = 0
A másodfokú egyenlet:
(x + )· (x + ) = 0
x² + x + x + = 0
x² +x + = 0
b) gyökei -1/3 és 2/5
A másodfokú egyenlet:
· (x + )· · (x + ) = 0
(x + )· (x + ) = 0
x² + x + x + = 0
x² + x + = 0
A másodfokú egyenlet:
· (x + )· · (x + ) = 0
(x + )· (x + ) = 0
x² + x + x + = 0
x² + x + = 0
c) egy gyöke van, x = -1
A másodfokú egyenlet:
(x + )· (x + ) = 0
x² + x + x + = 0
x² +x + = 0
A másodfokú egyenlet:
(x + )· (x + ) = 0
x² + x + x + = 0
x² +x + = 0
| 6 pont |
4. Másodfokúra vezető törtes egyenletek
208.
Oldja meg a (természetes) számok halmazán a következő egyenletet!
`(2x+3)/(2x-3)+(2x-3)/(2x+3)=50/7`
`(2x+3)/(2x-3)+(2x-3)/(2x+3)=50/7`
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
x1 = ?
x2 = ?
Alapadatok:
Törtes egyenlet
(2x +3)/(2x -3)+(2x -3)/(2x +3) = 50/7 |*7(2x-3)(2x +3)Keresett mennyiségek:
x1 = ?
x2 = ?
Alapadatok:
Törtes egyenlet
Képletek:
1. Közös nevezővel való beszorzás.
2. Zárójelbontás, beszorzás
3. Összevonás, egy oldalra rendezés
4. Megoldás
1. Közös nevezővel való beszorzás.
2. Zárójelbontás, beszorzás
3. Összevonás, egy oldalra rendezés
4. Megoldás
7(2x +3)² + 7(2x -3)² = 50(2x-3)(2x +3) |2. Zárójelbontás, beszorzás
x² + x + + x² + x + =
x² + x + |3. Összevonás, egy oldalra rendezés
x² + x + = 0
x² +x + = 0
a = , b = , c =
| `x_(1,2) =` | ( ±√ ( + )) |
| `x_(1,2) =` | ( ± ) |
| `x_1 =` | ( - ) | = |
| `x_2 =` | ( + ) | = |
| 6 pont |
26. Másodfokú egyenletek B.
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 205. | ||||
| 206. | ||||
| 207. | ||||
| 208. | ||||
| Ö.: | - | - |
