96. Gúla
Segítséget1. Négyzet alapú gúla
761.
Számítsa ki annak a szabályos négyoldalú gúlának a térfogatát,
amelynek alapéle
16cm, oldaléle
12cm!
Megoldás:
Keresett mennyiség:
Térfogat = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 16cm)`
oldalél = `color(red)(b = 12cm)`
Vázlat:
Keresett mennyiség:
Térfogat = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 16cm)`
oldalél = `color(red)(b = 12cm)`
Képletek:
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (color(red)(a^2)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = m_o^2`
`color(red)(a^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + m_o^2 = color(red)(b^2)`
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (color(red)(a^2)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = m_o^2`
`color(red)(a^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + m_o^2 = color(red)(b^2)`
² /2 + m² = ²
m = cm
V = cm³
| 4 pont |
762.
Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle
8cm, magassága
20cm.
Számolja ki a gúla felszínét!
Számolja ki a gúla felszínét!
Megoldás:
Keresett mennyiség:
Felszín = `color(blue)(A_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 8cm)`
magasság = `color(red)(m = 20cm)`
² /4 +
² = mo²Keresett mennyiség:
Felszín = `color(blue)(A_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 8cm)`
magasság = `color(red)(m = 20cm)`
Képletek:
1. Felszín:
`color(blue)(A_(gúla)) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (a^2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(red)(m^2) = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = b^2`
1. Felszín:
`color(blue)(A_(gúla)) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (a^2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(red)(m^2) = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = b^2`
mo = cm
Agúla = + = cm²
| 4 pont |
763.
Egy ház alapja
10m oldalú négyzet, tetőszerkezete olyan négyoldalú gúla,
amelynek oldalélei
12m-esek.
Hány m² cserepet vásároljunk, ha az illesztések és vágások miatt a szükséges mennyiség 12%-kal többet kell vennünk?
Hány m² cserepet vásároljunk, ha az illesztések és vágások miatt a szükséges mennyiség 12%-kal többet kell vennünk?
Megoldás:
Keresett mennyiség:
Palást = `color(blue)(P_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 10m)`
oldalél = `color(red)(b = 12m)`
ráhagyás = r = 12%
² /4 + mo² =
²Keresett mennyiség:
Palást = `color(blue)(P_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 10m)`
oldalél = `color(red)(b = 12m)`
ráhagyás = r = 12%
Képletek:
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
`color(blue)(P_(gúla)) = 4*(color(red)(a)*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (a^2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + m^2 = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + m^2 = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = color(red)(b^2)`
4. Ráhagyás:
`P = (1+r/100)*P_(gúla)`
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
`color(blue)(P_(gúla)) = 4*(color(red)(a)*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (a^2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + m^2 = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + m^2 = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = color(red)(b^2)`
4. Ráhagyás:
`P = (1+r/100)*P_(gúla)`
mo = m
Pgúla = m²
P = m²
| 6 pont |
764.
Karácsonyra szabályos négyoldalú gúlákat öntünk viaszból.
Olyan öntősablont készítünk, amelynek oldallapja 60°-os szöget zárnak be az alaplappal, magassága 8cm.
Mennyi viaszt használjunk fel egy gyertya öntéséhez, ha az öntési veszteség 6%?
Olyan öntősablont készítünk, amelynek oldallapja 60°-os szöget zárnak be az alaplappal, magassága 8cm.
Mennyi viaszt használjunk fel egy gyertya öntéséhez, ha az öntési veszteség 6%?
Megoldás:
Keresett mennyiség:
Térfogat = `color(blue)(V = ?)`
Alapadatok:
oldallapnak az alaplappal bezárt szöge = `color(red)(alpha = 60°)`
magasság = `color(red)(m = 8cm)`
veszteség = v = 6%
(a/2)·tg ° =
Keresett mennyiség:
Térfogat = `color(blue)(V = ?)`
Alapadatok:
oldallapnak az alaplappal bezárt szöge = `color(red)(alpha = 60°)`
magasság = `color(red)(m = 8cm)`
veszteség = v = 6%
Képletek:
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (a^2*color(red)(m))/3`
`color(mediumseagreen)(a) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(mediumseagreen)(a)/2)^2 + color(red)(m^2) = m_o^2`
`color(mediumseagreen)(a^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`(color(mediumseagreen)(a)/2)^2 + m_o^2 = b^2`
4. Szögfüggvények:
`sin color(red)(alpha)=color(red)(m)/m_o`
`cos color(red)(alpha)=(color(mediumseagreen)(a)/2)/m_o`
`tg color(red)(alpha)=color(red)(m)/(color(mediumseagreen)(a)/2)`
`sin beta =m/b`
`cos beta =e/b` `e = a*0,866`
`tg beta =m/e`
5. Veszteségbeszámítás:
`V = (1+v/100)*V_(gúla)`
1. Felszín:
`A_(gúla) = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (a^2*color(red)(m))/3`
`color(mediumseagreen)(a) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(mediumseagreen)(a)/2)^2 + color(red)(m^2) = m_o^2`
`color(mediumseagreen)(a^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`(color(mediumseagreen)(a)/2)^2 + m_o^2 = b^2`
4. Szögfüggvények:
`sin color(red)(alpha)=color(red)(m)/m_o`
`cos color(red)(alpha)=(color(mediumseagreen)(a)/2)/m_o`
`tg color(red)(alpha)=color(red)(m)/(color(mediumseagreen)(a)/2)`
`sin beta =m/b`
`cos beta =e/b` `e = a*0,866`
`tg beta =m/e`
5. Veszteségbeszámítás:
`V = (1+v/100)*V_(gúla)`
a = cm
Vgúla = cm³
V = cm³
| 6 pont |
2. Sokszög alapú gúla
765.
Kerti pavilonunk teteje szabályos hatoldalú gúla alakú,
amelynek alapélei
1m, oldalélei
130cm hosszúak.
Hány kg festéket vegyünk a pavilon tetejének lefestéséhez, ha 1,2kg festékkel festhettük le 1m² felületet?
Hány kg festéket vegyünk a pavilon tetejének lefestéséhez, ha 1,2kg festékkel festhettük le 1m² felületet?
Megoldás:
Keresett mennyiség:
Palást = `color(blue)(P_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 1m)`
oldalél = `color(red)(b = 1,3m)`
egységnyi festékigény = `color(red)(fi = 1,2(kg)/m^2)`
Vázlat:
Keresett mennyiség:
Palást = `color(blue)(P_(gúla) = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 1m)`
oldalél = `color(red)(b = 1,3m)`
egységnyi festékigény = `color(red)(fi = 1,2(kg)/m^2)`
Képletek:
1. Felszín:
`A_(gúla) = 6*(a^2*0,866)/2 + 6*(a*m_o)/2`
`color(blue)(P_(gúla)) = 6*(color(red)(a)*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (6*(a^2*0,866)/2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)*0,866)^2 + m^2 = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2) + m^2 = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = color(red)(b^2)`
4. Festékszükséglet:
`m = color(red)(fi)*P_(gúla)`
1. Felszín:
`A_(gúla) = 6*(a^2*0,866)/2 + 6*(a*m_o)/2`
`color(blue)(P_(gúla)) = 6*(color(red)(a)*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (6*(a^2*0,866)/2*m)/3`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)*0,866)^2 + m^2 = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)(a^2) + m^2 = color(red)(b^2)`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = color(red)(b^2)`
4. Festékszükséglet:
`m = color(red)(fi)*P_(gúla)`
² /4 + mo² = ²
mo = m
Pgúla = m²
m(tömeg) = kg
| 6 pont |
766.
Az egyik cég szabályos nyolcszög alapú gúla alakú ajándékot készít
fémből az ügyfeleinek.
Az ajándék készítéséhez öntőformát használnak, amelynek alapéle 2cm, oldaléle 5cm.
Legfeljebb hány gúlát tudnak önteni egy 10cm élű kocka alakú fémtömbből?
Az ajándék készítéséhez öntőformát használnak, amelynek alapéle 2cm, oldaléle 5cm.
Legfeljebb hány gúlát tudnak önteni egy 10cm élű kocka alakú fémtömbből?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
gúla térfogata = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
kocka térfogata = `color(blue)(V_(kocka) = ?)`
gúla darabszám = n
Alapadatok:
gúla:
alapél = `color(red)(a = 2cm)`
oldalél = `color(red)(b = 5cm)`
kocka:
oldalél = `color(red)(c = 10cm)`
Vázlat:
Keresett mennyiségek:
gúla térfogata = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
kocka térfogata = `color(blue)(V_(kocka) = ?)`
gúla darabszám = n
Alapadatok:
gúla:
alapél = `color(red)(a = 2cm)`
oldalél = `color(red)(b = 5cm)`
kocka:
oldalél = `color(red)(c = 10cm)`
Képletek:
Gúla:
n = 8
`gamma = (360°)/(2*color(red)(n))`
`color(mediumseagreen)(gamma) = ?`
`sin gamma = (a/2)/R`
`tg gamma = (a/2)/(m_(hsz))`
`color(mediumseagreen)(m_(hsz),R) = ?`
`T_(hsz) = (a*m_(hsz))/2`
`T_(gúla) = n*T_(hsz)`
`color(mediumseagreen)(T_(gúla)) = ?`
1. Felszín:
`A_(gúla) = T_(gúla) + n*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (T_(gúla)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(mediumseagreen)(m_(hsz)))^2 + m^2 = m_o^2`
`color(red)R^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(b^2)`
`color(red)(a)^2 + m_o^2 = color(red)(b^2)`
Kocka:
`V_(kocka) = color(red)(c^3)`
Darabszám = `db = (V_(kocka))/(V_(gúla))`
Gúla:
n = 8
`gamma = (360°)/(2*color(red)(n))`
`color(mediumseagreen)(gamma) = ?`
`sin gamma = (a/2)/R`
`tg gamma = (a/2)/(m_(hsz))`
`color(mediumseagreen)(m_(hsz),R) = ?`
`T_(hsz) = (a*m_(hsz))/2`
`T_(gúla) = n*T_(hsz)`
`color(mediumseagreen)(T_(gúla)) = ?`
1. Felszín:
`A_(gúla) = T_(gúla) + n*(a*m_o)/2`
2. Térfogat:
`V_(gúla) = (T_(gúla)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`(color(mediumseagreen)(m_(hsz)))^2 + m^2 = m_o^2`
`color(red)R^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(b^2)`
`color(red)(a)^2 + m_o^2 = color(red)(b^2)`
Kocka:
`V_(kocka) = color(red)(c^3)`
Darabszám = `db = (V_(kocka))/(V_(gúla))`
`gamma =` °
tg ° = (/2)/mhsz
`m_(hsz) = ` cm
sin ° = (/2)/R
R = cm
`T_(hsz) = ` cm²
`T_(gúla) = ` cm²
m² + ² = ²
m = cm
`V_(gúla) = ` cm³
`V_(kocka) = `cm³
db = db
| 9 pont |
3. Csonkagúla
767.
Egy fából készült szabályos négyoldalú gúla alapélei
20cm hosszúak,
az oldallapjainak magassága szintén
20cm.
A gúlát az alaplapjával párhuzamosan, magasságának felénél két részre vágjuk.
Mekkora a keletkező testek térfogata egész cm³-re kerekítve?
A gúlát az alaplapjával párhuzamosan, magasságának felénél két részre vágjuk.
Mekkora a keletkező testek térfogata egész cm³-re kerekítve?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Téfogat 1. = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
Téfogat 2. = `color(blue)(V_(csgúla) = ?)`
Alapadatok:
Gúla:
alapél = `color(red)(a_g = 10cm)`
oldallap magassága = `color(red)(m_(o,g) = 10cm)`
Csonkagúla:
alaplap éle = `color(red)(a_(csg) = 20cm)`
fedőlap éle = `color(red)(c_(csg) = 10cm)`
oldallap magassága = `color(red)(m_(o,csg) = 10cm)`
Felső gúla: Keresett mennyiségek:
Téfogat 1. = `color(blue)(V_(gúla) = ?)`
Téfogat 2. = `color(blue)(V_(csgúla) = ?)`
Alapadatok:
Gúla:
alapél = `color(red)(a_g = 10cm)`
oldallap magassága = `color(red)(m_(o,g) = 10cm)`
Csonkagúla:
alaplap éle = `color(red)(a_(csg) = 20cm)`
fedőlap éle = `color(red)(c_(csg) = 10cm)`
oldallap magassága = `color(red)(m_(o,csg) = 10cm)`
Képletek:
Gúla:
1. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (color(red)(a^2)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
2. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = b^2`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(red)(m_o^2) = b^2`
Csonkagúla:
1. Térfogat:
`color(blue)(V_(csgúla)) = ((color(red)(a^2+a*c+c^2))*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
2. Pitagorasz-tételek:
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(m_o^2)`
`color(red)((a-c)^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = b^2`
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(red)(m_o^2) = b^2`
Gúla:
1. Térfogat:
`color(blue)(V_(gúla)) = (color(red)(a^2)*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
2. Pitagorasz-tételek:
`(color(red)(a)/2)^2 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(m_o^2)`
`color(red)(a^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = b^2`
`(color(red)(a)/2)^2 + color(red)(m_o^2) = b^2`
Csonkagúla:
1. Térfogat:
`color(blue)(V_(csgúla)) = ((color(red)(a^2+a*c+c^2))*m)/3`
`color(mediumseagreen)(m) = ?`
2. Pitagorasz-tételek:
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(mediumseagreen)(m^2) = color(red)(m_o^2)`
`color(red)((a-c)^2)/2 + color(mediumseagreen)(m^2) = b^2`
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(red)(m_o^2) = b^2`
² / 4 + m² = ²
m = cm
Vgúla = cm³
Alsó csonkagúla:
mcsonkagúla = cm
Vcsonkagúla = cm³
| 8 pont |
768.
Szüreteléskor olyan csonka gúla alakú szőlőtárolót használnak az egyik pincészetben,
amelynek alapéle
2m, fedőéle
4m, magassága
3m, teteje nincs.
Szüret előtt minden évben lefestik a tárolóedényt kívülről és belülről is.
Hány m²-t kell lefesteni, ha összesen 30 ilyen edényünk van (darabszám)?
Szüret előtt minden évben lefestik a tárolóedényt kívülről és belülről is.
Hány m²-t kell lefesteni, ha összesen 30 ilyen edényünk van (darabszám)?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Alaplap = `color(blue)(T = ?)`
Palást = `color(blue)(P = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 2m)`
fedőél = `color(red)(c = 4m)`
magasság = `color(red)(m = 3m)`
darabszám = `color(red)(n = 30)`
² /4 +
² = mo² Keresett mennyiségek:
Alaplap = `color(blue)(T = ?)`
Palást = `color(blue)(P = ?)`
Alapadatok:
alapél = `color(red)(a = 2m)`
fedőél = `color(red)(c = 4m)`
magasság = `color(red)(m = 3m)`
darabszám = `color(red)(n = 30)`
Képletek:
1. Felszín:
`color(blue)(T) = color(red)(a^2)`
`color(blue)(P) = 4*(color(red)((a+c))*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(red)(m^2) = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)((a-c)^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = b^2`
4. Összes:
`A = 2*n*(T+P)`
1. Felszín:
`color(blue)(T) = color(red)(a^2)`
`color(blue)(P) = 4*(color(red)((a+c))*m_o)/2`
`color(mediumseagreen)(m_o) = ?`
3. Pitagorasz-tételek:
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(red)(m^2) = color(mediumseagreen)(m_o^2)`
`color(red)((a-c)^2)/2 + color(red)(m^2) = b^2`
`color(red)((a-c)^2)/4 + color(mediumseagreen)(m_o^2) = b^2`
4. Összes:
`A = 2*n*(T+P)`
mo = m
`T_(alap) =` m²
P = m²
A = m²
A_30 = m²
| 8 pont |
96. Gúla
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 761. | ||||
| 762. | ||||
| 763. | ||||
| 764. | ||||
| 765. | ||||
| 766. | ||||
| 767. | ||||
| 768. | ||||
| Ö.: | - | - |
