1. Halmazok megadása

1. Halmazok megadása

Segítséget mutat nem mutat

1. Az A halmaz elemei a "matematika" szó betűi.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a) halmaz elemeinek felsorolása
 b) részhalmazok száma = ?
 c) kételemű részhalmazok felsorolása
Alapadatok:
 szó betűi

Képletek:
1. Halmaz elemekből áll:
- sorrend nem számít;
- minden elem csak egyszer szerepel.
2. Részhalmazok száma = 2ⁿ
3. Részhalmazok felsorolásánál érdemes a a felsorolást szisztematikusan végezni:
- első elemet rögzítjük, a többit egyessével adott sorrendben hozzá társítjuk.
- az első elemet léptetjük, a nála nagyobbakat egyesével hozzá társítjuk.
- az első elemet addig léptetjük, amíg az utolsó előtti elemig nem jutunk.
A részhalmazok száma = n*(n-1)/2

a) Adja meg az A halmaz elemeit!
A = {}

b) Hány részhalmaza van az A halmaznak?
Részhalmazok száma =

c) Adja meg az A halmaz kételemű részhalmazait!
{; } {; } {; } {; } {; }
{; } {; } {; } {; }
{; } {; } {; }
{; } {; }
{; }

6 pont

2. Az A halmaz elemei az 1jegyű négyzetszámok, a B halmaz elemei a 20-nál kisebb prímszámok.
Adja meg az A és B halmazokat elemeik felsorolásával!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 négyzetszámok = k² alakú számok
 (a szorzótábla főátlójában lelhetők fel)
 prímszámok = csak eggyel és önmagukkal osztható számok (az egy nem prím)
 (a szorzótábla szélén találhatók meg)
Alapadatok:
 Tól ig tartományok
 Számjellemzők

Képletek:
1. Négyzetszámoknál használjuk a szorzótáblát!
2. A prímszámoknál az eratosztenészi szitát!

A = {}
B = {}

4 pont

3. Az A halmaz elemei a legalább -3, de 4-nél kisebb egész számok.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Halmaz elemei
 Részhalmazok elemei
Alapadatok:
 Egy intervallumba eső egész számok

Képletek:
1. A részhalmazok elemeit célszerű elemszám szerint növekvő sorrendben megadni.
2. A nulla se nem negatív, se nem pozitív szám.

a) Sorolja fel az A halmaz elemeit!
A = {}

b) Adja meg az A halmaz minden olyan részhalmazát, amelynek csak pozitív számok az elemei!
egyelemű:
{} {} {}
kételemű:
{} {} {}
háromelemű:
{}

c) Adja meg az A halmaz minden olyan részhalmazát, amelynek minden eleme páros szám, de a 2-t nem tartalmazza!
egyelemű:
{} {}
kételemű:
{}

6 pont

4. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Kijelentések logikai értéke
Alapadatok:
 Kijelentések

Képletek:
1. A számhalmazok egymáshoz való viszonya: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
2. R = Q ⋃ Q*, ahol Q ⋂ Q* = ∅

a) A természetes számok halmaza részhalmaza az egész számok halmazának.
igaz hamis

b) Az egész számok halmaza részhalmaza a természetes számok halmazának.
igaz hamis

c) A természetes számok halmaza valódi részhalmaza az egész számok halmazának.
igaz hamis

d) A racionális számok halmaza valódi részhalmaza az irracionális számok halmazának.
igaz hamis

4 pont

5. Legyen az A = {x | x² - 9 < 0; x ∈ Z}.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Halmaz elemei = ?
Alapadatok:
 Képlettel megadott halmaz

Képletek:
1. A negatív és a pozitív számok négyzete is pozitív.
2. A részhalmazok száma = 2ⁿ
3. Nem valódi részhalmazok: az üres halmaz és a halmaz önmaga.

a) Sorolja fel az A halmaz elemeit!
A = {}

b) Döntse el, hogy a B = {3;-3} halmaz részhalmaza-e az A halmaznak!
igen nem

c) Hány részhalmaza van az A halmaznak? Ebből hány valódi részhalmaz?
Részhalmazok száma =
Valódi részhalmazok száma =

6 pont

6. Adott két halmaz az ábra szerint úgy, hogy az A halmaz részhalmaza a B halmaznak.
Sorolja fel az A és B halmazok elemeit!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Halmazok elemei = ?
Alapadatok:
 Venn-diagram

Képletek:
1. A Venn-diagramon a karikán belül található elemek tartoznak az adott halmazhoz.

A = {}
B = {}

4 pont

7. Legyen a H halmaz a 10-nál/-nél kisebb pozitív egész számok halmaza, az A halmaz a 10-nál/-nél kisebb összetett számok halmaza.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Az alaphalmaz elemei = ?
 A részhalmaz elemei = ?
 A kiegészítő halmaz elemei = ?
Alapadatok:
 Alaphalmaz és egy részhalmaza

Képletek:
1. A nulla se nem negatív se nem pozitív szám.
2. Az egy nem prímszám és nem is összetett szám.

a) Sorolja fel mindkét halmaz elemeit!
H = {}
A = {}

b) Adja meg az A halmaz komplementerét a H halmazra vonatkozóan!
`bar(A) =` {}

6 pont

8. Legyen a H halmaz a 100 vagy annál kisebb természetes számok halmaza.
Tekintsük a következő halmazokat: A halmaz a 100 vagy annál kisebb, 4-gyel nem osztható természetes számok halmaza.
B halmaz a 100 vagy annál kisebb, 5-tel osztható természetes számok halmaza.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 A halmaz komplementere = ?
 B halmaz elemei = ?
 bizonyos számok elemei-e a H, A, B halmazoknak?
Alapadatok:
 Adott egy alaphalmaz (H) és
 két egymást metsző (oszthatósággal adott) részhalmaza (A és B)

Képletek:
1. Komplementer halmaz = az alaphalmaznak eleme, de az adott halmaznak nem (külső elemek)

a) Adja meg az A halmaz komplementerét a H halmazra vonatkozóan!
`bar(A) =` {}

b) Sorolja fel a B halmaz elemeit!
B = {}

c) Töltse ki a táblázatot!

Szám	H halmaz	A halmaz	B halmaz
115	eleme nem eleme	eleme nem eleme	eleme nem eleme
55	eleme nem eleme	eleme nem eleme	eleme nem eleme
27	eleme nem eleme	eleme nem eleme	eleme nem eleme
40	eleme nem eleme	eleme nem eleme	eleme nem eleme

8 pont

1. Halmazok megadása

NÉV:
JEGY: IDŐ:

Ssz.	Max pont	Pont	Paraméter	Be
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ö.:			-	-