Matek100lepes: 87. Háromszög nevezetes vonalai

2021. szeptember 18., szombat

87. Háromszög nevezetes vonalai

Segítséget

689. Adott a háromszög három csúcspontjának koordinátája: A( -3; -1), B( 0; -7) és C( 1; 7).
Írja fel az AB oldal oldalfelező merőlegesének egyenletét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
e (oldalfelező merőleges) = ?
Alapadatok:
A1 = -3
A2 = -1
B1 = 0
B2 = -7
C1 = 1
C2 = 7

Képletek:
1. Egyenes normálvektora:
Kivonással határozzuk meg!
n = (A1-B1;A2-B2) = (A;B)
2. Felezőpnt meghatározása:
Átlagolással határozzuk meg!
`F = ((A1+B1)/2;(A2+B2)/2)`
3. Egyenes normálvektoros egyenlete:
Behelyettesítés!
A*x + B*y = A*F1 + B*F2

`F_(A,B) = `(; )
`vec(v)_(B,A) = vec(n)_e = `(; )
e: ·x + ·y =

3 pont

690. Adott a háromszög három csúcspontjának koordinátája: A( 1; -3), B( 4; -9) és C( 5; 5).
Írja fel a B csúcsból induló súlyvonal egyenletét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
e (súlyvonal) = ?
Alapadatok:
A1 = 1
A2 = -3
B1 = 4
B2 = -9
C1 = 5
C2 = 5

Képletek:
1. Felezőpont meghatározása:
Átlagolással!
`F = ((A1+C1)/2;(A2+C2)/2)`
2. Normálvektor meghatározása:
Kivonással!
n = (B1-F1;B2-F2) = (A;B)
3. Normálvektoros egyenlet:
Behelyettesítés!
A*x + B*y = A*B1 + B*B2

`F_(A,C) = `(; )
`vec(FB) =` (; )
n = (; )
e: ·x + ·y =

4 pont

691. Adott a háromszög három csúcspontjának koordinátája: A( -6; -2), B( -3; -8) és C( -2; 6).
Írja fel az a oldallal párhuzamos középvonal egyenletét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
e (középvonal) = ?
Alapadatok:
A1 = -6
A2 = -2
B1 = -3
B2 = -8
C1 = -2
C2 = 6

Képletek:
1. Felezőpontok:
Átlagolással!
`F1 = ((A1+B1)/2;(A2+B2)/2) = (F11;F12)`
`F2 = ((A1+C1)/2;(A2+C2)/2) = (F21;F22)`
2. Normálvektor:
Kivonással!
n = (F11-F2;F12-F22) = (A;B)
3. Normálvektoros egyenlet:
Behelyettesítés!
A*x + B*y = A*F11 + B*F12

`F1 = F_(A,B) =` (; )
`F2 = F_(A,C) =` (; )
v = `vec(BC) =` (; )
n = (; )
e: ·x + ·y =

5 pont

692. Adott a háromszög három csúcspontjának koordinátája: A( -1; 1), B( 2; -5) és C( 3; 9).
Írja fel B csúcsból kiinduló magasságvonal egyenletét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
e (magasságvonal) = ?
Alapadatok:
A1 = -1
A2 = 1
B1 = 2
B2 = -5
C1 = 3
C2 = 9

Képletek:
1. Normálvektor:
Kivonással!
n = (A1-C1;A2-B2) = (A;B)
2. Normálvektoros egyenlet:
Behelyettesítés!
A*x + B*y = A*B1 + B*B2

`vec(AC) =` (; )
`vec(n) =` (; )
e: ·x + ·y =

3 pont

693. Adott a háromszög három csúcspontjának koordinátája: A( -4; 3), B( -1; -3) és C( 0; 11).
Számolja ki a háromszög köré írható kör középpontjának koordinátáit!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
K (köré írható kör) = ?
e (oldalfelező) = ?
f (oldalfelező) = ?
Alapadatok:
A1 = -4
A2 = 3
B1 = -1
B2 = -3
C1 = 0
C2 = 11

Képletek:
1. Az oldalfelező egyenesek egyenletei:
`F1=((A1+B1)/2;(A2+B2)/2) = (F11;F12)`
ne = (A1-B1;A2-B2) = (Ae; Be)
e: Ae*x + Be*y = Ae*F11 + Be*F12
`F2=((A1+C1)/2;(A2+C2)/2) = (F21;F22)`
nf = (A1-C1;A2-C2) = (Af; Bf)
f: Af*x + Bf*y = Af*F21 + Bf*F22
2. Kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása:
Egyenlő együtthatók módszerével (keresztbeszorzással, összeadással, vagy kivonással)!
e: Ae*x + Be*y = Ae*F11 + Be*F12
f: Af*x + Bf*y = Af*F21 + Bf*F22
megoldás = M (x,y)

e:
`F_1 = F_(A,B) =` (; )
`vec(AB) =` (; )
`vec(n)_e =` (; )
e: ·x + ·y =
f:
`F_2 = F_(A,C) =` (; )
`vec(AC) =` ; )
`vec(n)_f =` ; )
f: ·x + ·y =
Megoldás:
M = (; )

10 pont

694. Adott a háromszög három csúcspontjának koordinátája: A( -8; 0), B( -5; -6) és C( -4; 8).
Számolja ki a háromszög magasságpontjának koordinátáit!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
M (magasságpont) = ?
e (magasságvonal) = ?
f (magasságvonal) = ?
Alapadatok:
A1 = -8
A2 = 0
B1 = -5
B2 = -6
C1 = -4
C2 = 8

Képletek:
1. Magasságvonalak meghatározása:
ne = (A1-B1;A2-B2) = (Ae;Be)
e: Ae*x + Be*y = Ae*C1 + Be*C2
nf = (A1-C1;A2-C2) = (Af;Bf)
f: Af*x + Bf*y = Af*B1 + Bf*B2
2. Kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása:
Egyenlő együtthatók módszerével (keresztbeszorzással, összeadással, vagy kivonással)!
e: Ae*x + Be*y = Ae*C1 + Be*C2
f: Af*x + Bf*y = Af*B1 + Bf*B2
megoldás = M (x,y)

m1:
`vec(AC) =` (; )
`vec(n_e) =` (; )
e: ·x + ·y =
m2:
`vec(AB) =` (; )
`vec(n_f) =` (; )
f: ·x + ·y =
Megoldás:
M = (; )

8 pont

695. Adott a háromszög három csúcspontjának koordinátája: A( -3; 4), B( 3; 4) és C( 0; 0).
Írja fel a C csúcsból kiinduló szögfelező egyenletét!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
g (szögfelező) = ?
ve (oldalegyenes irányvektora) = ?
vf (oldalegyenes irányvektora) = ?
Alapadatok:
A1 = -3
A2 = 4
B1 = 3
B2 = 4
C1 = 0
C2 = 0

Képletek:
1. Oldalegyenesek irányvektorainak meghatározása:
Kivonással!
ve = (A1 - C1; A2 - C2) = (ve1; ve2)
vf = (B1 - C1; B2 - C2) = (vf1; vf2)
2. Irányvektorok hosszának meghatározása:
Pitagorasz-tétellel!
`|ve| = sqrt(ve1^2+ve2^2)`
`|vf| = sqrt(vf1^2+vf2^2)`
3. Egységvektorok meghatározása:
Osztással!
`veE = ((ve1)/(|ve|);(ve2)/(|ve|)) = (veE1;veE2)`
`vfE = ((vf1)/(|vf|);(vf2)/(|vf|)) = (vfE1;vfE2)`
4. Szögfelelő irányvektora:
Összeadással!
vg = (veE1+vfE1; veE2+vfE2) = (vg1; vg2)
5. Szögfelező egyenlete:
ng = (vg2;-1*vg1) = (ng1; ng2)
g: ng1*x + ng2*y = ng1*C1 + ng2*C2

e:
v_e = (; )
|v_e| =
v_eE = (; )
f:
v_f = (; )
|v_f| =
v_fE = (; )
g:
v_g = (; )
n_g = (; )
g: ·x + ·y =

9 pont

696. Adott a háromszög három csúcspontjának koordinátája: A( 2; 4), B( 5; 6) és C( -1; 6).
Számolja ki az A csúcsból kiinduló magasságvonal és a C csúcsból kiinduló súlyvonal metszéspontjának koordinátáit!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
M (metszéspont) = ?
e (magasságvonal) = ?
f (súlyvonal) = ?
Alapadatok:
A1 = 2
A2 = 4
B1 = 5
B2 = 6
C1 = -1
C2 = 6

Képletek:
1. Magasságvonal egyenlete:
ne = (B1-C1;B2-C2) = (ne1;ne2)
e: ne1*x+ne2*y = ne1*A1+ne2*A2
2. Súlyvonal egyenlete:
`F=((A1+B1)/2;(A2+B2)/2)`
nf = (A1-B1;A2-B2) = (nf1; nf2)
f: nf1*x + nf2*y = nf1*F1 + nf2*F2
2. Kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása:
Egyenlő együtthatók módszerével (keresztbeszorzással, összeadással, vagy kivonással)!
e: ne1*x+ne2*y = ne1*A1+ne2*A2
f: nf1*x + nf2*y = nf1*F1 + nf2*F2
megoldás = M (x,y)

magasságvonal:
`vec(CB) = n_e =` (; )
e: ·x + ·y =
e: x =
súlyvonal:
`F_(A,B) =` (; )
`vec(v)_f =` (; )
`vec(n)_f =` (; )
f: ·x + ·y =
M = (; )

7 pont

87. Háromszög nevezetes vonalai

NÉV:
JEGY: IDŐ:

Ssz.	Max pont	Pont	Paraméter	Be
689.
690.
691.
692.
693.
694.
695.
696.
Ö.:			-	-