51. Másodfokú függvények

51. Másodfokú függvények

Segítséget mutat nem mutat

401. Adott a [-2;4] intervallumon értelmezett f(x) = x² -4 függvény.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Függvényjellemzők
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabály

Képletek:
y = a(x-u)²+v
1. Függvényábrázolás:
 célszerű táblázatot készíteni hozzás (általában a középső érték = u)
2. Zérushelyek:
 y = 0 egyenlet megoldása.

a) Ábrázolja a függvényt!

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y

b) Adja meg a függvény zérushelyeit!
x1 =
x2 =

c) Határozza meg a függvény minimumának helyét és értékét!
xmin =
ymin =

d) Állapítsa meg a függvény maximumának helyét és értékét!
xmax =
ymax =

8 pont

402. Adott az f: R ↦ R, f(x) = -(x -2)² +3 függvény.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Függvényjellemzők
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabály

Ismeretek:
1. Szélsőérték helye: xmin/xmax = u
2. Ábrázolás: táblázat alapján
3. Monotonitás: grafikon alapján

a) Állapítsa meg a függvény maximumának helyét és értékét!
xmax =
ymax =

b) Ábrázolja a függvényt!

x	0	1	2	3	4
y

c) Adja meg a függvény monotonitási intervallumait az intervallumhoz tartozó monotonítással együtt!
x = 2-ig a függvény csökken nő

6 pont

403. Adjon meg egy olyan másodfokú függvényt, amelynek minimuma van az x = -1 helyen és a minimumának értéke y = -5!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Hozzárendelési szabály
Alapadatok:
 Minimumpont

Képletek:
1. Ha y = a(x - u)² + v, akkor minimumpont: C(u; v)

y = · (x +)² +

3 pont

404. Adott az f: R ↦ R, f(x) = (x +3)² -4 függvény.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Jellemzők
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabály

Képletek:
1. y = (x -u)² + v esetén az eltolás vektora: a = (u;v)
2. Ábrázolás: táblázat alapján (félig nyitott intervallum)
3. zérushelyek: f(x) = 0 megoldásai

a) Fogalmazza meg, hogy az f függvény milyen transzformációkkal származtatható a g: R ↦ R,g(x) = x² függvény grafikonjából!
a = (; )

b) Ábrázolja az f függvényt a ]-5;1] intervallumon!

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1
y

c) Adja meg az f függvény zérushelyeit!
x1 =

6 pont

405. A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy a g:R ↦ R, g(x) = 2x² függvény grafikonját a v(-1;-2)vektorral eltoltuk.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Függvényjellemzők
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabály
 eltolási vektor

Képletek:
1. y = a*(x -u)² + v esetén az eltolás vektora: a = (u;v)
2. zérushelyek: f(x) = 0 megoldásai

a) Adja meg az f függvény hozzárendelési utasítását képlettel!
y = · (x +)² +

b) Számolja ki a függvény zérushelyeit!
x1 =
x2 =

5 pont

406. Egy valós számok halmazán értelmezett másodfokú függvény hozzárendelési szabálya f:R ↦ R, x ↦ x² +3x.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Helyettesítési érték adott kiindulási érték mellett
 Kiindulási érték adott helyettesítési érték esetén
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabály

Képletek:
1. Helyettesítési érték keresés: műveletek végrehajtását jelenti.
2. Kiindulási érték keresés: nullára rendezés után másodfokú egyenlet megoldását jelenti.

a) Számítsa ki a függvény helyettesítési értékét az x = -1,5 helyen!
f(x) =

b) Az értelmezési tartomány melyik elemére lesz a függvény helyettesítési értéke -2?
x1 =
x2 =

4 pont

407.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Zérushelyek
 Zárójeles hozzárendelési szabály
 Értékkészlet
Alapadatok:
 Zárójel nélküli hozzárendelési szabály

Képletek:
1. Zérushelyek keresése: másodfokú egyenlet megoldása
2. Zárójeles hozzárendelési szabály keresése:
 teljes négyzetté alakítás:
 `a*x^2+b*x+c = a*(x^2+b/a*x)+c = a*(x -b/(2*a))^2 - b^2/(4*a) +c`
 `a*(x -u)^2+v`
3. Értékkészlet: egyik oldalról a végtelen határolja.
 a másik oldalról az ymin, vagy az ymax értéke.

a) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett f(x)= -x² -2x +8 függvény zérushelyeit!
x1 =
x2 =

b) Ábrázolja az f függvényt!
y = · (x + )² +

c) Határozza meg a függvény értékkkészletét!
ÉK = ] -∞;]

6 pont

408. Adja meg a következő függvények hozzárendelési utasítását!

a)		b)
c)		d)
e)		f)

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Hozzárendelési szabályok
Alapadatok:
 Grafikonok

Képletek:
1. y = a(x - u)² + v esetén:
 a = felfele, vagy lefele néz a parabola.
 C (u;v) = a parabola csúcspontja.

a) y = ·(x + )² +
b) y = ·(x + )² +
c) y = ·(x + )² +
d) y = ·(x + )² +
e) y = ·(x + )² +
f) y = ·(x + )² +

6 pont

51. Másodfokú függvények

NÉV:
JEGY: IDŐ:

Ssz.	Max pont	Pont	Paraméter	Be
401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
408.
Ö.:			-	-