2021. szeptember 16., csütörtök

54. Exponenciális, logaritmus függvény

54. Exponenciális, logaritmus függvény

54. Exponenciális, logaritmus függvény

Segítséget

1. Exponenciális függvény

425. Az alábbi valós számok halmazán értelmezett exponenciális függvényekről döntse el, hogy melyik monoton növő, melyik monoton csökkenő!
 a) `a(x)=2^x-1`
 b) `b(x)=-2^x+1`
 c) `c(x)=(1/2)^x-3`
 d) `d(x)=-(1/2)^x+3`
 e) `e(x)=-(3/2)^x-1`
 f) `f(x)=(3/4)^(x-1)-3`
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Monotonitás
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabályok
Ábrák:
a) b) c)
d) e) f)
a) b) c)
d) e) f)
6 pont
426. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Kijelentések logikai értéke
Alapadatok:
 Kijelentések
Ismeretek:
1. Az exponenciális függvénynek nincs szélső értéke (minimuma/maximuma).
2. A `y = a^x` függvény
 szigorúan monoton növekvő, ha a értéke 1-nél nagyobb.
 szigorúan monoton csökkenő, ha a értéke 1-nél kisebb.
 konstans, ha a értéke 1.
a) Van olyan exponenciális függvény, amelynek valós helyen felvett függvényértéke 1.
b) Az `f(x)=5^x` exponenciális függvénynek maximuma van.
c) Az `f(x)=5^x-1` exponenciális függvénynek nincs zérushelye.
d) Az `f(x)=5^x` exponenciális függvény szigorúan monoton csökken.
4 pont
427. Ábrázolja az f:[-3;2] ↦ R, `f(x)=(1/2)^x-4` függvényt!
Határozza meg a függvény zérushelyét!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Grafikon
 Zérushely
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabály
Ismeretek:
1. Grafikon = táblázatkitöltés.
2. Zérushely = egyenletmegoldás.
Táblázat:
x -3 -2 -1 0 1 2
y

Zérushely:
x =
4 pont
428. Az f:[-4;3] ↦ R, `f(x)=a^x` függvényről tudjuk, hogy a 2 helyen a függvény értéke 9.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Függvényjellemzők
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabály feltételekkel
Képletek:
1. alapérték meghatározása = egyenletmegoldás.
2. monotonitás: a értékétől függ
(a > 1 esetén sz. m. nő, a < 1 esetén sz. m. csökken)
3. ÉK = két szélső y értékeinek meghatározása.
a) Számolja ki az a szám értékét!
a =
b) Adja meg a függvény monotonitását!
c) Határozza meg a függvény értékkészletét!
ÉK = [; ]
6 pont

2. Logaritmusfüggvény

429. Az alábbi pozitív valós számok halmazán értelmezett logaritmus függvényekről döntse el, hogy melyik monoton növő, melyik monoton csökkenő!
 a) `a(x)=-log_2x-1`
 b) `b(x)=log_2x+1`
 c) `c(x)=-log_(1/2)x-3`
 d) `d(x)=log_(1/2)x+3`
 e) `e(x)=-log_(2/3)x-1`
 f) `f(x)=-log_(5/2)x+1`
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Monotonitás
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabályok
Ábrák:
a) b) c)
d) e) f)
a) b) c)
d) e) f)
6 pont
430. Az f: R+ ↦ R, `f(x)=log_3x+2` függvény a következő függvények közül melyikkel azonos?
 a) f:R+ ↦ R, `f(x)=log_3 x^2`
 b) f:R+ ↦ R, `f(x)=log_3 2x`
 c) f:R+ ↦ R, `f(x)=log_3 9x`
 d) f:R+ ↦ R, `f(x)=2log_3 x`
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Átalakított hozzárendelési szabály
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabály
Képletek:
A logaritmus azonosságai:
1. 2 = `log_3 3^2`
2. `log_a x +log_a y = log_a x*y`
Válasz:

2 pont
431. Ábrázolja az `f:[1/9;9] ↦ R,f(x)=log_3x-1` függvényt!
Határozza meg a függvény zérushelyét!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Grafikon
 Zérushely
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabály
Képletek:
1. Grafikon = táblázatkitöltéssel
2. Zérushely = egyenletmegoldás
Táblázat:
x 1/9 1/3 1 3 9
y

Zérushely:
x =
4 pont
432. Az `f:[1;4]->R,f(x)=log_a x` függvényről tudjuk, hogy a 4 helyen a függvény értéke 2.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Függvényparaméterek
 Függvényjellemzők
Alapadatok:
 Hozzárendelési szabály feltételekkel
Képletek:
1. `log_a x =y` esetén: `a^y=x` átalakítás célszerű.
2. A monotonitás az a paraméter értékének és az 1-nek a viszonyától függ.
3. Értékkészlet általában = R.
a) Számolja ki az a szám értékét!
a =
b) Adja meg a függyény monotonitását!
c) Határozza meg a függvény értékkészletét!
ÉK = [; ]
6 pont

54. Exponenciális, logaritmus függvény

NÉV:
JEGY: IDŐ:
Ssz. Max pont Pont Paraméter Be
425.
426.
427.
428.
429.
430.
431.
432.
Ö.: - -





dátum: