3. Halmazok elemszáma
Segítséget
17.
Egy
30 fős osztályban
28-an érettségiznek angol nyelvből,
5-en németből,
mindenki érettségizik e két nyelv valamelyikéből.
Hányan érettségiznek mindkét nyelvből?
Válaszát indokolja!
Hányan érettségiznek mindkét nyelvből?
Válaszát indokolja!
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
|A ⋂ B| = |mindkettő| = ?
Alapadatok:
|O| = 30
|A| = 28
|N| = 5
`bar(|A U N|)` = |egyiksem| = 0
Mindkét nyelvből érettségiznek = Keresett mennyiségek:
|A ⋂ B| = |mindkettő| = ?
Alapadatok:
|O| = 30
|A| = 28
|N| = 5
`bar(|A U N|)` = |egyiksem| = 0
Képletek:
1. Logikai szita formula:
|O| -|egyiksem| = |A| + |N| - |mindkettő|
|mindkettő| = (|O| -|egyiksem|) - (|A| + |N|)
1. Logikai szita formula:
|O| -|egyiksem| = |A| + |N| - |mindkettő|
|mindkettő| = (|O| -|egyiksem|) - (|A| + |N|)
| 2 pont |
18.
Egy
600 fős iskola nyári táborába a tanulók
16%-a, a sítáborba a
25-öd részük ment el a tavalyi tanévben.
4 tanuló mindkét táborban volt.
A tanulók hányad része nem vett részt egyik programon sem?
A tanulók hányad része nem vett részt egyik programon sem?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
|egyiksem| = ?
Alapadatok:
|I| = 600
|NyT| = 600*0,16
|ST| = 600/25
|mindkettő| = 4
A nyári táborozók száma = főKeresett mennyiségek:
|egyiksem| = ?
Alapadatok:
|I| = 600
|NyT| = 600*0,16
|ST| = 600/25
|mindkettő| = 4
Képletek:
1. Logikai szita formula:
|I| - |egyiksem| = |NyT| + |ST| - |mindkettő|
|egyiksem| = |I| - (|NyT| + |ST| - |mindkettő|)
VAGY
2. Részekből összerakás:
|csak NyT| = |NyT| - |mindkettő(és-és)|
|csak ST| = |ST| - |mindkettő|
|is-is| = |csak NyT| +|mindkettő| + |csak ST|
|egyik sem| = |I| - |is-is|
1. Logikai szita formula:
|I| - |egyiksem| = |NyT| + |ST| - |mindkettő|
|egyiksem| = |I| - (|NyT| + |ST| - |mindkettő|)
VAGY
2. Részekből összerakás:
|csak NyT| = |NyT| - |mindkettő(és-és)|
|csak ST| = |ST| - |mindkettő|
|is-is| = |csak NyT| +|mindkettő| + |csak ST|
|egyik sem| = |I| - |is-is|
A sítáborozók száma = fő
Egyik táborozásban sem vett részt = fő
Részarány = %
| 4 pont |
19.
Az iskola 12. évfolyamára
123-an járnak, ők alkotják a V halmazt.
Közülük a megfelelő betűjelű osztályokba járó tanulók alkotják rendre az A, B, C, D halmazokat.
Az A osztályba 28, a B osztályba 30, a C osztályba 32 tanuló jár, a többi tanuló D osztályos.
Hány eleműek a következő halmazok?
Közülük a megfelelő betűjelű osztályokba járó tanulók alkotják rendre az A, B, C, D halmazokat.
Az A osztályba 28, a B osztályba 30, a C osztályba 32 tanuló jár, a többi tanuló D osztályos.
Hány eleműek a következő halmazok?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a) |V ⋃ A| = ?
b) |V ⋂ B| = ?
c) |C ⋃ D| = ?
d) |B ⋂ C| = ?
e) |A ⋃ B ⋃ C ⋃ D| = ?
f) |V \ (A ⋂ B ⋂ C ⋂ D)| = ?
Alapadatok:
|V| = 123
|A| = 28
|B| = 30
|C| = 32
|D| = 123 - (28 + 30 +32)
A D osztályba jár = fő
Keresett mennyiségek:
a) |V ⋃ A| = ?
b) |V ⋂ B| = ?
c) |C ⋃ D| = ?
d) |B ⋂ C| = ?
e) |A ⋃ B ⋃ C ⋃ D| = ?
f) |V \ (A ⋂ B ⋂ C ⋂ D)| = ?
Alapadatok:
|V| = 123
|A| = 28
|B| = 30
|C| = 32
|D| = 123 - (28 + 30 +32)
Képletek:
V-be beágyazott különálló (diszjunkt) halmazokról van szó:
a) |V ⋃ A| = |V|
b) |V ⋂ B| = |B|
c) |C ⋃ D| = |C| + |D|
d) |B ⋂ C| = |∅|
e) |A ⋃ B ⋃ C ⋃ D| = |V|
f) |V \ (A ⋂ B ⋂ C ⋂ D)| = |V|
V-be beágyazott különálló (diszjunkt) halmazokról van szó:
a) |V ⋃ A| = |V|
b) |V ⋂ B| = |B|
c) |C ⋃ D| = |C| + |D|
d) |B ⋂ C| = |∅|
e) |A ⋃ B ⋃ C ⋃ D| = |V|
f) |V \ (A ⋂ B ⋂ C ⋂ D)| = |V|
a) |V ⋃ A| = fő
b) |V ⋂ B| = fő
c) |C ⋃ D| = fő
d) |B ⋂ C| = fő
e) |A ⋃ B ⋃ C ⋃ D| = fő
f) |V \ (A ⋂ B ⋂ C ⋂ D)| = fő
| 7 pont |
20.
Egy osztályban mindenki sportol:
16-an atletizálnak,
24-en valamilyen labdajátékot űznek, az utóbbiak
fele nem atletizál.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a) |mindkettő| = ?
b) |csak A| = ?
c) |O| = ?
Alapadatok:
|A| = 16
|L| = 24
|csak L| = 24*0,5
|egyikse| = 0
Keresett mennyiségek:
a) |mindkettő| = ?
b) |csak A| = ?
c) |O| = ?
Alapadatok:
|A| = 16
|L| = 24
|csak L| = 24*0,5
|egyikse| = 0
Képletek:
a) |mindkettő| = |L| - |csak L|
b) |csak A| = |A| - |mindkettő|
c) |O| = |csak A| + |mindkettő| + |csak L|
a) |mindkettő| = |L| - |csak L|
b) |csak A| = |A| - |mindkettő|
c) |O| = |csak A| + |mindkettő| + |csak L|
a) Hányan vannak azok, akik mindkét sportágban aktívak?
|mindkettő| = fő
|mindkettő| = fő
b) Hányan vannak a csak atlétizálók?
|csak A| = fő
|csak A| = fő
c) Hányan járnak az osztályba?
|O| = fő
|O| = fő
| 6 pont |
21.
Egy iskola
125 tanulója közül angolul
98-an, németül
59-en, olaszul
32-en tanulnak.
Angolt és németet is 38, angolt és olaszt is 26, németet és olaszt is 5 tanuló, mindhárom nyelvet 3 tanuló tanulja.
Angolt és németet is 38, angolt és olaszt is 26, németet és olaszt is 5 tanuló, mindhárom nyelvet 3 tanuló tanulja.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
Hiányzó adatok
Alapadatok:
|I| = 125
|A| = 98, |N| = 59, |O| = 32
|A és N| = 38, |A és O| = 26, |N és O| = 5
|mindhárom| = 3
Keresett mennyiségek:
Hiányzó adatok
Alapadatok:
|I| = 125
|A| = 98, |N| = 59, |O| = 32
|A és N| = 38, |A és O| = 26, |N és O| = 5
|mindhárom| = 3
Képletek:
1. Középkezdés - kivonás - összerakás:
a)
a = |A és N, de nem O| = |A és N| - |mindhárom|
b = |A és O, de nem N| = |A és O| - |mindhárom|
c = |N és O, de nem A| = |N és O| - |mindhárom|
d = |csak A| = |A| - (|mindhárom| + |A és N, de nem O| + |A és O, de nem N|)
e = |csak N| = |N| - (|mindhárom| + |A és N, de nem O| + |N és O, de nem A|)
f = |csak O| = |O| - (|mindhárom| + |N és O, de nem A| + |A és O, de nem N|)
b)
|ABC| = |A is, B is, C is| = |A| + |csak N| + |N és O, de nem A| + |csak O|
g = |egyikse| = |I| - |ABC|
c)
|legalább 2| = |mindhárom| + |A és N, de nem O| + |A és O, de nem N| + |N és O, de nem A|
d)
|legfeljebb 2| = |I| -|mindhárom|
1. Középkezdés - kivonás - összerakás:
a)
a = |A és N, de nem O| = |A és N| - |mindhárom|
b = |A és O, de nem N| = |A és O| - |mindhárom|
c = |N és O, de nem A| = |N és O| - |mindhárom|
d = |csak A| = |A| - (|mindhárom| + |A és N, de nem O| + |A és O, de nem N|)
e = |csak N| = |N| - (|mindhárom| + |A és N, de nem O| + |N és O, de nem A|)
f = |csak O| = |O| - (|mindhárom| + |N és O, de nem A| + |A és O, de nem N|)
b)
|ABC| = |A is, B is, C is| = |A| + |csak N| + |N és O, de nem A| + |csak O|
g = |egyikse| = |I| - |ABC|
c)
|legalább 2| = |mindhárom| + |A és N, de nem O| + |A és O, de nem N| + |N és O, de nem A|
d)
|legfeljebb 2| = |I| -|mindhárom|
a) A 125 tanuló közül hány tanuló tanul csak angolul, csak németül, illteve csak olaszul?
|csAN| = |A és N, de nem O| =
|csAO| = |A és O, de nem N| =
|csNO| = |N és O, de nem A| =
|csak A| =
|csak N| =
|csak O| =
|csAN| = |A és N, de nem O| =
|csAO| = |A és O, de nem N| =
|csNO| = |N és O, de nem A| =
|csak A| =
|csak N| =
|csak O| =
b) Hány tanuló nem tanul egyetlen nyelvet sem a 3 nyelvből?
|valamelyik| = |vagy A, vagy B, vagy C| =
|egyik se| =
|valamelyik| = |vagy A, vagy B, vagy C| =
|egyik se| =
c) Hányan tanulnak legalább 2 nyelvet?
|legalább 2| =
|legalább 2| =
d) Hányan tanulnak legfeljebb 2 nyelvet?
|legfeljebb 2| =
|legfeljebb 2| =
| 6 pont |
22.
Az egyik osztály diákjai közül
14-en szeretik a testnevelést,
12-en a történelmet,
13-an pedig a matematikát.
4 tanuló mindhármat szereti, 6 diák a testnevelést és a matematikáért rajong, 7 diák a testnevelést és a történelmet szereti.
2 olyan tanuló van, aki csak a történelmet és a matematikát tanulja szívesen.
4 tanuló mindhármat szereti, 6 diák a testnevelést és a matematikáért rajong, 7 diák a testnevelést és a történelmet szereti.
2 olyan tanuló van, aki csak a történelmet és a matematikát tanulja szívesen.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a) Ha |egyikse| = 0, akkor |O| = ?
b) Ha |O| = 40, akkor |egyikse| = ?
Alapadatok:
|Te| = 14
|Tö| = 12
|M| = 13
|mindhárom| = 4
|Te és M| = 6
|Te és Tö| = 7
|Tö és M, de nem Te| = 2
Keresett mennyiségek:
a) Ha |egyikse| = 0, akkor |O| = ?
b) Ha |O| = 40, akkor |egyikse| = ?
Alapadatok:
|Te| = 14
|Tö| = 12
|M| = 13
|mindhárom| = 4
|Te és M| = 6
|Te és Tö| = 7
|Tö és M, de nem Te| = 2
Képletek:
1.|Tö és M| = |Tö és M, de nem Te| + |mindhárom|
Logikai szita:
|O| - |egyikse| = |Te| + |Tö| + |M| - (|Te és M|+|Te és Tö|+|Tö és M|) + |mindhárom|
1.|Tö és M| = |Tö és M, de nem Te| + |mindhárom|
Logikai szita:
|O| - |egyikse| = |Te| + |Tö| + |M| - (|Te és M|+|Te és Tö|+|Tö és M|) + |mindhárom|
a) Legalább hány tanuló jár az osztályba?
csak tesi és töri = , csak tesi és matek =
csak tesi = , csak töri = , csak matek =
|O| =
csak tesi és töri = , csak tesi és matek =
csak tesi = , csak töri = , csak matek =
|O| =
b) Ha az osztály létszáma
40 fő, akkor hány olyan tanuló van, aki az adott három tantárgy közül az egyiket sem szereti?
|egyikse| =
|egyikse| =
| 8 pont |
23.
Egy matematikaversenyen három feladatot tűztek ki.
Az első feladatot 23-an, a másodikat 28-an, a harmadikat 17-en oldották meg.
Mindhárom feladatot 4 tanuló oldotta meg, pontosan 1 feladatot 14 tanuló oldott meg.
Az első feladatot 23-an, a másodikat 28-an, a harmadikat 17-en oldották meg.
Mindhárom feladatot 4 tanuló oldotta meg, pontosan 1 feladatot 14 tanuló oldott meg.
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
a) |pontosan 2| = ?
b) Ha |egyikse| = 0, akkor |V| = ?
Alapadatok:
|1.| = 23
|2.| = 28
|3.| = 17
|mindhárom| = 4
|pontosan 1| = 14
Keresett mennyiségek:
a) |pontosan 2| = ?
b) Ha |egyikse| = 0, akkor |V| = ?
Alapadatok:
|1.| = 23
|2.| = 28
|3.| = 17
|mindhárom| = 4
|pontosan 1| = 14
Képletek:
Vizsgáljuk a lefedettségek számosságát!
1. |1.| + |2.| + |3.| -|pontosan 1| = 2*|pontosan 2| + 3*|mindhárom|
2. |V| -|egyikse| = |pontosan 1| +|pontosan 2| +|mindhárom|
Vizsgáljuk a lefedettségek számosságát!
1. |1.| + |2.| + |3.| -|pontosan 1| = 2*|pontosan 2| + 3*|mindhárom|
2. |V| -|egyikse| = |pontosan 1| +|pontosan 2| +|mindhárom|
a) Hány tanuló oldott meg pontosan 2 feladatot?
+ + - = 2·x + 3·
|pontosan 2| =
+ + - = 2·x + 3·
|pontosan 2| =
b) Hányan vettek részt a versenyen, ha legalább egy feladatot mindenki megoldott?
|V| = + +
|V| =
|V| = + +
|V| =
| 4 pont |
24.
Egy, a 2017-es budapesti vizes világbajnokságra érkezett
28 fős angol turistacsoport tagjai 3 sportág: vízilabda, szinkronúszás és toronyugrás iránt érdeklődtek.
A csoport minden tagja ezek közül legalább egy sportág versenyeire elment.
14-en láttak vízilabda meccset.
Azok, akik csak vízilabdát, csak szinkronúszást, illetve toronyugrást láttak, rendre 6-n, 4-en és 7-en voltak.
Érdekes módon a három sportágból bármelyik kettőre pontosan ugyanannyian voltak kíváncsiak.
Hány olyan tagja volt a turistacsoportnak, aki mindhárom sportág versenyeire elment?
A csoport minden tagja ezek közül legalább egy sportág versenyeire elment.
14-en láttak vízilabda meccset.
Azok, akik csak vízilabdát, csak szinkronúszást, illetve toronyugrást láttak, rendre 6-n, 4-en és 7-en voltak.
Érdekes módon a három sportágból bármelyik kettőre pontosan ugyanannyian voltak kíváncsiak.
Hány olyan tagja volt a turistacsoportnak, aki mindhárom sportág versenyeire elment?
Megoldás:
Keresett mennyiségek:
|pontosan 2| = x = ?
|mindhárom| = y = ?
Alapadatok:
|N| = 28
|egyikse| = 0
|V| = 14
|csak V| = 6
|csak Sz| = 4
|csak T| = 7
Ha x = kettő, y = mindhárom mérkőzést láttak, akkor Keresett mennyiségek:
|pontosan 2| = x = ?
|mindhárom| = y = ?
Alapadatok:
|N| = 28
|egyikse| = 0
|V| = 14
|csak V| = 6
|csak Sz| = 4
|csak T| = 7
Képletek:
Vizsgáljuk a lefedettségek számosságát!
1. |V| = |csak V| + |V és Sz| + |V és T| + |mindhárom|
2. |N| = |csak V| + |csak Sz| + |csak T| + |V és Sz| + |V és T| + |Sz és T| - 2*|mindhárom|
Vizsgáljuk a lefedettségek számosságát!
1. |V| = |csak V| + |V és Sz| + |V és T| + |mindhárom|
2. |N| = |csak V| + |csak Sz| + |csak T| + |V és Sz| + |V és T| + |Sz és T| - 2*|mindhárom|
1. *x + *y + = 14
2. *x + *y + = 28
x =
y =
| 8 pont |
3. Halmazok elemszáma
NÉV:JEGY: IDŐ:
| Ssz. | Max pont | Pont | Paraméter | Be |
| 17. | ||||
| 18. | ||||
| 19. | ||||
| 20. | ||||
| 21. | ||||
| 22. | ||||
| 23. | ||||
| 24. | ||||
| Ö.: | - | - |
