97. Vegyes térgeometria

97. Vegyes térgeometria

mutat nem mutat

769. A henger alakú gyertyákat 4x 4x 12 cm téglatest alakú díszdobozba csomagolják.
Mekkora lehet annak a gyertyának a felszíne, amelynek alap- és fedőköre illeszkedik a doboz alsó és felső lapjára, palástja pedig érinti a doboz oldallapjait?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 `A_(heng er) = ?`
Alapadatok:
 d = 4cm
 m = 12cm

Képletek:
1. Átmérő számítás:
 d = 2*r
 r = ?
2. Felszínszámítás:
 `A = 2*r^2*pi + 2*r*pi*m`

r = cm
A = + = cm²

4 pont

770. Egy csavarhúzó hegyéhez hasonló alakú test felülnézete kör, egyik oldalnézete háromszög, elölnézete 8cm oldalú négyzet.
A testet be akarjuk csomagolni, ezért egy dobozt szeretnénk készíteni neki, de még nem döntöttük el, hogy az henger vagy kocka alakú legyen.
Adja meg az erre alkalmas henger és kocka alakú dobozok minimális

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a) `A_(heng er)/A_(kocka) = ?`
 b) `V_(heng er)/V_(kocka) = ?`
Alapadatok:
 a = d = 8cm
 m = 8cm

Képletek:
1. Átmérő számítás:
 d = 2*r
 r = ?
2. Felszínek aránya:
 `A_(heng er) = 2*r^2*pi + 2*r*pi*m`
 `A_(kocka) = 6*a^2`
3. Térfogatok aránya:
 `V_(heng er)=r^2*pi*m`
 `V_(kocka) = a^3`

a) felszínének arányát,
r = cm
`A_(heng er) = ` + = cm²
`A_(kocka) = ` cm²
`A_(heng er)/A_(kocka) = ` %

b) térfogatának arányát!
`V_(heng er) = ` cm³
`V_(kocka) = ` cm³
`V_(heng er)/V_(kocka) = ` %

7 pont

771. Egy fitneszlabdá ba 268liter levegő fér.
Hány cm a labda belső átmérője?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 d = ? (cm)
Alapadatok:
 V = 268 dm³

Képletek:
1. Térfogatszámítás:
 `V = 4/3*r^3*pi`
 r = ?  `[r = root(3)((3*V)/(4*pi))]`
2. Átmérőszámítás:
 d = 2*r

4/3·r³·π = dm³
r = cm
d = cm

3 pont

772. Dominik elkészítette egy téglatest élvázát.
Ezen megmérte, hogy a téglatest két lapátlója 39 cm és 17 cm hosszú, a testátlóját megmérve pedig kiszámolta, hogy annak négyzete 1585cm².
Hány cm drótot használt fel Dominik?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 Összélhossz = K = ?
Alapadatok:
 e₁ = 39cm
 e₂ = 17cm
 f² = 1585cm²

Képletek:
1. Átlószámítás:
 `e_1^2 = a^2 +b^2`
 `e_2^2 = a^2 + c^2`
 `ul(f^2 = a^2 + b^2 + c^2)`
 `[e_1^2+e_2^2-f^2 = a^2]`
2. Összélhossz számítás:
 K = 4*(a + b + c)

 `e_1^2 = a^2 +b^2`
 `e_2^2 = a^2 + c^2`
 `ul(f^2 = a^2 + b^2 + c^2)`
 `[e_1^2+e_2^2-f^2 = a^2]`
a = cm
b = cm
c = cm
K = cm

8 pont

773. Egy 10 cm oldalhosszúságú négyzetet megforgatunk
I. az egyik oldala körül
II. az egyik középvonala körül
III. az egyik átlója körül.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 
Alapadatok:
I. eset:
(henger)
 `r_1 = 10cm`
 `m_1 = 10cm`
II. eset:
(henger)
 `r_2 = 5cm`
 `m_2 = 10cm`
III. eset:
(két kúp)
  `r_3 = 10/(1,4142) cm`
  `m_3 = 10/(1,4142) cm`
  `a_3 = 10cm`

Képletek:
1. Felszínszámítás:
I. eset:
 `A_1 = 2*r_1^2*pi+2*r_1*pi*m_1`
II. eset:
 `A_2 = 2*r_2^2*pi+2*r_2*pi*m_2`
III. eset:
 `A_3 = 2*r_3*pi*a_3`
2. Térfogatszámítás:
I. eset:
  `V_1 = r_1^2*pi*m_1`
II. eset:
  `V_2 = r_2^2*pi*m_2`
III. eset:
  `V_3 = 2*(r_3^2*pi*m_3)/3`

a) Mekkora a keletkező három forgástest felszíne, illetve térfogata?
Válaszait egész cm²-re, illetve egész cm³-re kerekítve adja meg!
1. Henger:
r₁ = cm
m₁ = cm
A₁ = + = cm²
V₁ = cm³

2. Henger:
r₂ = cm
m₂ = cm
A₂ = + = cm²
V₂ = cm³

3. Két kúp:
Az egyik kúp adatai:
r₃ = cm
m₃ = cm
a₃ = cm
Két kúp együttese:
A₃ = cm²
V₃ = cm³

b) Az első test felszíne hányszorosa a második test felszínének?
`A_1/A_2 = `%

c) A harmadik test térfogata hány százaléka a második test térfogatának?
`V_3/V_2 = `%

8 pont

774. Egy virágtartó felső része henger alakú, alsó része pedig egy lefelé keskenyedő csonka kúp.
Ez utóbbi rész alul 8cm széles és 6cm magas, a felső rész 10cm széles, a tál teljes magassága 10cm.
Hány liter virágföld fér a virágtartóba, ha teljes magasságának 4/ 5 részéig töltjük meg?

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 V = ?
Alapadatok:
I. henger:
 `m_1 = ?`
 R = ?
II. csonka kúp:
 d = 8cm
 r = ?
 `m_2 = 6cm`
 D = 10cm
Teljes:
 m = 10cm
 ra = 4/5

Képletek:
1. Magasságszámítás:
 `m_1 + m_2 = m*ra`
2. Átmérőszámítás:
 D = 2*R
 d = 2*r
3. Térfogatszámítás:
 `V_1 = R^2*pi*m_1`
 `V_2 = ((R^2+R*r+r^2)*pi*m_2)/3`
 `V = V_1 + V_2`

Teljes:
m = 10cm
részarány(ra) = 4/5

II. csonka kúp:
D = 10cm
R = dm
d = 8cm
r = dm
`m_2 = 6cm`

I. henger:
`m_1` + = dm
`m_1 = `dm
`V_1 = `dm³
`V_2 = `dm³
V = dm³

6 pont

775. Egy hagyományőrző rendezvényre a szervező cég indián sátor alakú helyszínt állított fel.
A szabályos 6-szög alapú gúla oldalélei és alapélei mentén, valamint a gúla testmagasságánál merevítőrudakat használnak.
Az alapélekhez 2 m-es, az oldalélekhez 6m-es merevítőket használtak.

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 a) m = ?
 b) P = ?
Alapadatok:
 n = 6
 a = 2m
 b = 6m

Képletek:
1. Pitagorasz-tételek:
 `a^2+m^2=b^2`
 `(a/2)^2+mo^2=b^2`
 mo = ?
2. Felszín számítás:
 `P = n*(a*mo)/2`

a) Milyen hosszú a testmagasságánál álló rúd?
² + m² = ²
m = m

b) Mekkora területű vásznat feszítenek ki az oldallapokra az indiánok?
² /4 + m_o² = ²
mo = m
P = m²

6 pont

776. Egy csillagvizsgáló henger alakú épületére félgömb alakú kupolát építettek.
Az épület legnagyobb belső szélessége 20m, teljes belső magassága 15m.
Az épületet klimatizálni akarják.
Segítsen kiszámítani, hogy hány légköbméter klimatizálására kell alkalmasnak lennie az ehhez stükséges berendezésnek!

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 V = ?
Alapadatok:
 d = 20m
 m = 15m

Képletek:
1. Átmérőszámítás:
 d =2*r
 r = ?
2. Magasságszámítás:
 m = r + mh
 mh = ?
3. Térfogatszámítás:
 `V_(félgömb) = 2/3*r^3*pi`
 `V_(heng er) = r^2*pi*m_(heng er)`
 `V = V_(félgömb)+V_(heng er)`