32. Logaritmusos egyenletek

32. Logartimusos egyenletek

Segítséget mutat nem mutat

249. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
 `log_(3)(x+1)=4`

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 logaritmusos egyenlet

Képletek:
1. Alakítsuk át a logaritmust exponenciális kifejezéssé:
`log_ab = c` → `b = a^c` (a logaritmus hatványkitevőt jelent)
Ellenőrizni kell!

`log_(3)(x+1)=4`
x + 1 = ^
x + 1 =
x =
x megoldás-e =

6 pont

250. Oldja meg a következő egyenletet az (egész) számok halmazán!
 `log_(1/2)(2x-2)=1`

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 logaritmusos egyenlet

Képletek:
1. Alakítsuk át a logaritmust exponenciális kifejezéssé:
`log_ab = c` → `b = a^c` (a logaritmus hatványkitevőt jelent)
Ellenőrizni kell!

`log_(1/2)(2x-2)=1`
2x -2 = ^
2x -2 =
x =
x megoldás-e? =

6 pont

251. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
`lg(x-1)-lg(x) = lg(2)`

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 Logaritmusos egyenlet

Képletek:
1. Alkalmazzuk a következő azonosságot:
lg a - lg b = lg (a/b)
2. Monotonitás miatt a lg elhagyható
Ellenőrizni kell!

`lg(x-1)-lg(x) = lg(2)`
lg ((x + )/ x) = lg(2)  |monotonitás
x + = x
x =
x megoldás-e? =

6 pont

252. Oldja meg a következő egyenletet a (természetes) számok halmazán!
 `log_(1/4)(x+2)+log_(1/4)(3-x)=-1`

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x1 = ?, x2 = ?
Alapadatok:
 Logaritmusos egyenlet

Képletek:
1. Alkalmazzuk a következő azonosságot:
lg a + lg b = lg (a*b)
2. Alakítsuk át a logaritmust exponenciális kifejezéssé:
`log_ab = c` → `b = a^c` (a logaritmus hatványkitevőt jelent)
3. Bontsuk fel a zárójelet, rendezzünk nullára
4. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet
Ellenőrizni kell!

`log_(1/4)(x+2)+log_(1/4)(3-x)=-1`
`log_(1/4)(x+2)(3-x)` = `log_(1/4)`  |monotonitás
x² + x + + x =
x² + x + = 0
a = b = c =

x12 = ( ±√ ( + ))/
x12 = ( ± )/
 x1 = ( - )/
 x1 =
x1 megoldás-e =
  x2 = ( + )/
  x2 =
x2 megoldás-e =

6 pont

253. Oldja meg a következő egyenletet az (egész) számok halmazán!
 lg(2x) = lg(2x-1)+2

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 Logaritmusos egyenlet

Képletek:
1. Vigyük át egy oldalra a logokat!
2. Alkalmazzuk a következő azonosságot:
lg a + lg b = lg (a*b)
3. Monotonitásra hivatkozva hagyjuk el a logartimust!
3. Oldjuk meg az elsőfokú egyenletet
Ellenőrizni kell!

lg(2x) = lg(2x-1) +2
lg(2x) = lg(2x-1) + lg
lg(2x) = lg((x + )· )  |monotonitás
x = x +
x = /
x megoldás-e =

6 pont

254. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
 `2*lg(x+12)-lg(3x-4)=lg(20)`

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x1 = ?, x2 = ?
Alapadatok:
 Logaritmusos egyenlet

Képletek:
1. Azonosság alkalmazása: `n*lg(a) = lg(a^n)`
2. Egyenletrendezés után azonosság alkalmazása: `lg(a) +lg(b) = lg(a*b)`
3. Monotonitás miatt: lg elhagyható
4. Másodfokú egyenlet megoldása
Ellenőrizni kell!

`2*lg(x+12)-lg(3x-4)=lg(20)`  |+lg(3x-4)
`lg(x+12)^2=lg(3x-4)+lg(20)`
lg(x+12)² = lg((3x-4)· )
x² +x + = x +
x² + x + = 0
a = b = c =

x12 = ( ±√ ( + ))/
x12 = ( ± )/
 x1 = ( - )/
 x1 =
x1 megoldás-e =
  x2 = ( + )/
  x2 =
x2 megoldás-e =

6 pont

255. Oldja meg a következő egyenletet a (racionális) számok halmazán!
 `lg(sqrt(6x-5))+lg(sqrt(8x-11))=lg(2)`

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x1 = ?, x2 = ?
Alapadatok:
 Logaritmusos egyenlet

Képletek:
1. Azonosság alkalmazása: lg(a) + lg(b) = lg(a*b)
2. Monotonitás: lg elhagyása
3. Négyzetre emelés, zárójelbontás
4. Másodfokú egyenlet megoldása
Ellenőrzés kell!

`lg(sqrt(6x-5))+lg(sqrt(8x-11))=lg(2)`
lg(√((6x-5)*(8x-11))) = lg(2)  |monotonitás
x²+ x + x + = ²
x²+ x + = 0
a = b = c =

x12 = ( ±√ ( + ))/
x12 = ( ± )/
 x1 = ( - )/
 x1 =
x1 megoldás-e =
  x2 = ( + )/
  x2 =
x2 megoldás-e =

6 pont

256. Oldja meg a következő egyenletet a természetes számok halmazán!
 `log_(5)[log_(3)(2*log_(2)(x)-1)-4*log_(1/5)(5)]=1`

Megoldás:
Keresett mennyiségek:
 x = ?
Alapadatok:
 logaritmusos egyenlet

Képletek:
1. Alkalmazzuk a következő azonosságot: `n*lga=lga^n`
2. 1 átalakítása logaritmussá
3. monotonitásra való hivatkozással log5 elhagyása
4. Kintről befelé haladás (hagymahámozás):
a `log_(3)`, majd a `log_(2)` eltávolítása
Ellenőrizni kell!

`log_(5)[log_(3)(2*log_(2)(x)-1)-4*log_(1/5)(5)]=1`
`log_(5)[log_(3)(2*log_(2)(x)-1)-log_(1/5)(5^4)]=log_(5)`  |monotonitás
`log_(3)(2*log_(2)(x)-1)` + =
`log_(3)(2*log_(2)(x)-1)` =
`log_(3)(2*log_(2)(x)-1)` = `log_(3)`  |monotonitás
`2*log_(2)(x)` =
`log_(2)(x)` =
`log_(2)(x)` = `log_(2)`  |monotonitás
x =
x megoldás-e =

6 pont

32. Logaritmusos egyenletek

NÉV:
JEGY: IDŐ:

Ssz.	Max pont	Pont	Paraméter	Be
249.
250.
251.
252.
253.
254.
255.
256.
Ö.:			-	-